edu185 E（dp）

E. Binary Strings and Blocks

一道看起来很板，很典型的 \(dp\)。大概形式就是：对长度为 \(n\)，且给定的 \(m\) 个区间都满足某一性质的序列计数。这种问题一般都可以通过 \(dp\) 来求。

在本题中，要求给定的 \(m\) 个区间 \(0\) 和 \(1\) 两种字符必须都包含。

首先对于每组右端点重合的区间，我们只需要保留下来长度最短的区间（即左端点最大的区间）就可以了。因为小区间满足，大区间肯定也满足。于是我们记录下来每个位置 \(i\) 的最大左端点 \(maxl_{i}\)。

然后我们对 \(maxl\) 做一遍前缀最大值，此时 \(maxl_{i}\) 的含义：考虑给定 \(m\) 条线段的所有 \(r \leq i\) 的线段 \([l,r]\)，左端点 \(l\) 的最大值。

状态定义：\(dp_{i}:\) 考虑前 \(1 \backsim i\) 个字符，其中第 \(i-1\) 个字符与第 \(i\) 个字符不同，方案数。

考虑如何状态转移：首先对于右端点为 \(i\) 的所有线段，已经都满足了性质。那么我们仅需考虑右端点 \(< i\) 的线段就可以了。

考虑可以从哪些位置转移过来：设 \(1 \backsim i - 1\) 中，最后一个不同的字符对的结尾位置为 \(j\)（即 \([j, i - 1]\) 内的所有字符均相同），那么：

• 如果 \(j \leq maxl_{i - 1}\)，那么在 \([j, i - 1]\) 内必然存在某条线段字符都相同。因此这样的位置 \(j\) 不能作为转移点。
• 否则 \(j > maxl_{i - 1}\)，在 \([j, i - 1]\) 内就不存在任何 \(r < i\) 的线段。此时 \([j, i - 1]\) 内的所有位置都可以作为转移点，代表 \([1, i - 1]\) 内最后一个不同字符对的结尾位置（之后的字符都相同）。

综上，状态转移式可写作：

\[dp_{i} = \sum_{j=maxl_{i-1}+1}^{i-1} dp_{j} \]

前缀和优化 \(dp\) 即可。最终答案为 \(dp_{n+1}\)（要求第 \(n\) 个字符与第 \(n+1\) 个字符不同，那么对于所有长度为 \(n\) 的合法方案，第 \(n+1\) 个字符是确定的，将其去掉即为所求，构成一一映射）。

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