Nim游戏结论简略证明

\(Nim\) 游戏的胜负，由所有石堆中石子数量的异或和决定。设游戏进行过程中，当前的异或和为 \(S\)，那么每一次进行游戏，一定有：

• \(S \neq 0\) 一定可以转移到 \(S = 0\)
• \(S = 0\) 只能转移到 \(S \neq 0\)

这里 \(S \neq 0\) 就是博弈状态中的必胜态，\(S = 0\) 是必败态。由于上述转移满足“必胜态一定可以转移到必败态，必败态只能转移到必胜态”，因此该游戏一定可以做到先手必胜或必败。

证明上述转移的可行性：

1. \(S \neq 0\) 一定可以转移到 \(S = 0\)：
   考虑 \(S\) 的最高二进制位，那么当前所有石堆中，石子数量在该二进制位上为 \(1\) 的数量必然是奇数。那么考虑取其中任意一个石堆，从中取石子使得该位变为 \(0\)，由于可以取任意数量的石子，那么由二进制的性质可知，其后的所有低位中的 \(01\) 可以任意转变，那么就一定存在一种转变方式，使得所有石堆在相应位的 \(1\) 的数量均为偶数。此时，新的异或和一定为 \(0\)，得证。
2. \(S = 0\) 只能转移到 \(S \neq 0\)：
   此时每个二进制位 \(1\) 的数量都是偶数，那么无论取哪个石堆中的石子，一定会破坏掉某个二进制位中 \(1\) 的数量的奇偶性，新的异或和一定不为 \(0\)，得证。