10.19 —— (VP)2022icpc西安

最暴露真实水平的一把。只做出来 \(4\) 道纯签到题，但其实这把的前 \(6\) 题都是签到题级别，切签到的速度也不快，罚时还上天。

\(F,J\) 没啥好说的。

\(C\) 题能感觉到一定是先克隆，再出题。\(O(\log n)\) 枚举克隆次数计算答案即可。蒟蒻因为未准确估计答案范围，没有计入未克隆的情况，导致吃了很多罚时。

\(G\) 题直接暴力就行。容易发现答案不会超过 \(O(\sqrt n)\)，因为对于一个长度为 \(m\) 的字符串，如果字典中包含其所有子串，那么字典中至少应含有长度为 \(1\) 到 \(m\) 的串各一个，这样总长度就至少为 \(\frac{m(m+1)}{2}\),而总长度不超过 \(1e5\)，因此可知答案是根号级别的。剩下的就是按长度排序，暴力。
事实上，正解不是这个，上述做法的复杂度最坏情况下也会达到 \(O(n^{2})\)，感觉是数据弱了。正解是：如果一个字符串 \(s_{1}s_{2}...s_{n}\) 是好的，当且仅当 \(s_{2}s_{2}...s_{n}\) 和 \(s_{1}s_{2}...s_{n-1}\) 是好的。于是按照字符串长度排序，用 \(set\) 模拟一下就行了。

E. Find Maximum

看到这个题，蒟蒻没有往三进制上想，打表也看不出来任何有用的信息，牢底坐穿了。

打表发现，\(f(x)\) 就是 \(x\) 三进制意义下的数位之和 + 数位个数。

剩下的就是分类讨论或者数位 \(dp\)。这里我用的分类讨论，具体细节见代码。

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L. Tree

长链剖分，还需要用到一些反链的知识。

之前没学过长链剖分。它与重链剖分的唯一区别在于，每个结点的重儿子选取的是其子树中高度最大的子结点。

首先要清楚，如果要将结点 \(u\) 划分至某个第一类集合，那么这个集合中一定会包含 \(u\) 到其子树内某个叶节点的路径上的所有点。否则，我们一定可以将未加入的点 \(v\) 划分至该集合，由于这个集合至少包含点 \(u\)，那么集合数量一定不会增加，可能会减少（\(v\) 单独在一个集合时），答案一定不会更劣。

如果学过长链剖分就会知道，按照长链剖分的思路来划分第一类集合，是最优的。

那么，每个第一类集合一定对应了树中的某个完整的长链。选取部分长链作为第一类集合，那么剩下的长链中的所有点就只能划分到第二类集合。在第二类集合中，显然不能出现同一长链中的点。因此最优的划分方式，就是每次选取一个剩余长链中的点划分到一个第二类集合中，那么最终第二类集合的数量，就是剩余所有长链的最大长度。

贪心地想，要让答案最小化，就尽可能地让剩余长链的最大长度最小化即可。因此做法就是将所有长链按长度降序排序，枚举前 \(i\) 条长链划分至第一类集合（数量为 \(i\)），剩余长链划分至第二类集合（数量为 \(len_{i+1}\)）。

还有一种做法：对于第二类集合的操作，一定是将当前图中的所有叶节点纳入同一个集合最优；对于第一类集合，集合数量至少是叶节点数。 因此可以直接拓扑模拟，每次删除当前所有叶节点并将它们纳入第二个集合，剩下图中的叶节点数即为所需的第一个集合的数量，在每轮删除后更新答案求最小值。

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