10.17 —— (VP) 2021icpc沈阳

自己 \(vp\) 区域赛以来最好的一把，赛时 \(5\) 题，罚时 \(607\)，正式赛大概 \(rk 120\) 左右，属于是蒟蒻的超水平发挥了。尤其是 \(H\) 题最后半小时内想出正解并且 \(1A\)，感觉真的特别爽。

\(E, F\) 纯签到。

\(B\) 题套路也极为典型，二进制拆位考虑就可以把看似很难的问题划分成 $O(\log) $ 个很简单的子问题，需要用到并查集和二分图染色，这里不再赘述详细解法。

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\(J\) 题吃了 \(6\) 发罚时，属实是有些唐了。记住，罚时很重要！罚时很重要！罚时很重要！此题的套路也很典型：对 \(a, b\) 做相同的操作，答案不会改变。因此对于所有询问，直接将这些询问的 \(a\) 归一化，于是问题就变成了单源最短路问题，一次 \(bfs\) 即可，复杂度 \(O(20 * 10000)\)，其中 \(20\) 是状态转移过程中的常数，\(10000\) 是状态总数。

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\(H\) 题需要将题意化繁为简的能力，把问题变成一个易懂的形式，剩下的就特别好想了。与本题等价的问题是：每次可以选取具有公共结点的一对边，每条边只能选一次，直到不能再继续选，最大化选取所有边的总和。 由于给定图是连通的，不难猜到，当边数为偶数时，所有的边一定都可以选到；而边数是奇数时，一定可以选 \(m - 1\) 条边，也就是只有一条边不会被选择。那么我们就可以枚举所有边，看不选它时，剩下的所有边能否均被选择。此时有两种情况：

• 该边不是割边：那么去掉这条边后，剩下的图仍然连通，且边数为偶数，情况与上一个相同，一定可以都选到。
• 该边是割边：去掉该边后，会形成两个连通块，并且这两个连通块的奇偶性相同。显然如果是偶数，则可行；奇数则不可行。

于是问题缩小为了：去除连通图的一条指定割边，判断形成的两个连通块的奇偶性。可以用 \(dcc\) 边双连通分量对原图进行缩点，形成由割边构成的一棵树。则连通块内的边数就等于内部的割边数+非割边数。割边数就是子树大小-1，非割边数就是子树内所有边双内的边数之和，可以一次 \(dfs\) 预处理得到所有割边的解。

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接下来是补题时间。

L. Perfect Matchings

原问题等价于：求给定的一棵大小为 \(2n\) 的树中，不含有树边且匹配数为 \(n\)（选 \(n\) 个点对，即所有点均要匹配到）的最大匹配数量。

容斥原理 + 树上背包

反向思考，考虑求至少包含一条树边的匹配方案数。

设 \(S_{i}\)：一定包含第 \(i\) 条树边的匹配方案数

那么显然 \(ans = \cup_{i=1}^{2n-1} S_{i}\)

求并集大小的经典算法就是容斥原理：

\(S_{i} \cap S_{j}\) 就相当于一定包含第 \(i, j\) 条树边。对于所有可能的 \(1 \leq i < j \leq 2n-1\)，\(\sum_{i<j}|S_{i} \cap S_{j}|\) 等价于在匹配包含任意两条树边的合法情况下，剩下未匹配的结点可自由匹配，方案数。

设 \(f_{i}\)：选取整棵树中的 \(i\) 条两两之间无公共端点的树边，方案数；\(g_{i}\)：\(i\) 个结点两两自由匹配，方案数（这里 \(i\) 一定是偶数）
则：

\[ans = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1}f_{i}*g_{2n-2i} \]

\(g_{i}\) 直接推式子就能求，很简单。

现在求 \(f_{i}\)：考虑树形 \(dp\)。

状态定义：\(dp_{u,j,0/1}\)：考虑子树 \(u\)，选取恰好 \(j\) 条两两之间无公共端点的树边，且根节点 \(u\) 未匹配 \(or\) 匹配，方案数。

状态转移：等价于树上背包。将边数作为背包体积，每次考虑合并子树 \(v\) 到当前正在扩展的子树 \(u\) 即可，最终 \(f_{i} = dp_{1,i,0} + dp_{1,i,1}\)。具体细节见代码，复杂度 \(O(n^{2})\)。

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\(M\) 题是后缀自动机，蒟蒻还没学，等有时间再补~