线段树多懒标记

最近在思考：如何对一个序列维护带有两种区间修改的多查询问题。这样不可避免地需要对两种修改操作分别维护一种懒标记。但显然，不能将两种懒标记独立看待，因为对于两种操作，先后顺序不同会造成不同的影响。因此如何处理两个懒标记之间的相互影响至关重要, \(pushdown\) 函数需要精心设计。

这里口胡两种情况（不一定对），阐述一下设计懒标记的原理。

区间加与区间乘

考虑两种操作的先后顺序：

1. 先乘后加：直接进行即可
2. 先加后乘：加的部分也需要乘，再作和

void pushdown(int p){
    if(tr[p].add == 0 && tr[p].mul == 1) return;
    tr[lc].sum = (tr[lc].sum * tr[p].mul) + tr[p].add * (tr[lc].r - tr[lc].l + 1);
    tr[rc].sum = (tr[rc].sum * tr[p].mul) + tr[p].add * (tr[rc].r - tr[rc].l + 1);
    // 先处理乘法懒标记，再处理加法懒标记
    tr[lc].mul = tr[lc].mul * tr[p].mul;
    tr[rc].mul = tr[rc].mul * tr[p].mul;
    tr[lc].add = tr[lc].add * tr[p].mul + tr[p].add;
    tr[rc].add = tr[rc].add * tr[p].mul + tr[p].add;
    tr[p].add = 0;
    tr[p].mul = 1;
}

区间加与区间赋值 (查询区间最大值)

// max
template<typename T>
struct SegTree
{
    struct Node
    {
        int l, r;
        T maxv, tag_fix, tag_add;
    }tr[maxn << 2];

    #define lc p<<1
    #define rc p<<1|1

    void pushup(int p)
    {
		tr[p].maxv = max(tr[lc].maxv, tr[rc].maxv);
    }

    void pushdown(int p)
    {
        if(tr[p].tag_fix != -1){
            tr[lc].maxv = tr[rc].maxv = tr[p].tag_fix; 
        }
        if(tr[p].tag_add){
            tr[lc].maxv += tr[p].tag_add;
            tr[rc].maxv += tr[p].tag_add;
        }


        if(tr[p].tag_fix != -1){
            tr[lc].tag_fix = tr[rc].tag_fix = tr[p].tag_fix;
            tr[lc].tag_add = tr[rc].tag_add = 0;
        }
        if(tr[p].tag_add){
            tr[lc].tag_add += tr[p].tag_add;
            tr[rc].tag_add += tr[p].tag_add;
        }

        tr[p].tag_fix = -1;
        tr[p].tag_add = 0;
    }

    void build(int p, int l, int r,auto& arr)
    {
        tr[p] = { l,r,arr[l],-1,0};
        if (l == r) return;
        int mid = l + r >> 1;
        build(lc, l, mid , arr);
        build(rc, mid + 1, r , arr);
        pushup(p);
    }

    void update_fix(int p, int l, int r, T k)
    {
        if (l <= tr[p].l && tr[p].r <= r) 
        {
			tr[p].maxv = k;
            tr[p].tag_fix = k;
            tr[p].tag_add = 0;
            return;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        pushdown(p);
        if (l <= mid) update_fix(lc, l ,r, k);
        if (r > mid)  update_fix(rc, l ,r, k);
        pushup(p);
    }

    void update_add(int p, int l, int r, T k)
    {
        if (l <= tr[p].l && tr[p].r <= r)
        {
			tr[p].maxv += k;
            tr[p].tag_add += k;
            return;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        pushdown(p);
        if (l <= mid) update_add(lc, l ,r, k);
        if (r > mid)  update_add(rc, l ,r, k);
        pushup(p);
    }

    T querymax(int p, int l, int r)
    {
        if (l <= tr[p].l && tr[p].r <= r) return tr[p].maxv;
        pushdown(p);
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        T maxv = INT_MIN;
        if (l <= mid) maxv = max(maxv, querymax(lc, l, r));
        if (r > mid) maxv = max(maxv, querymax(rc, l, r));
        return maxv;
    }

};

线段树多懒标记设计相关例题：
ABC441 G
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edu23 F
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