ABC 418 F（矩阵优化dp + 线段树维护矩阵乘法）

F

一道融合了很多知识点与模板的好题。

这里只讲述下核心思路，详细思路可以看官解：

根据 \(a\) 数组将茶壶 \(1 \backsim n\) 分成若干段，其中所有的 \(a_{i} \neq -1\) 作为每一段的右端点。显然除了最后一段外，每一段均是一个左开右闭的区间（-1，-1，-1，...，x），且这些区间的长度，以及茶和咖啡的数量均是固定的；而对于最后一段区间，长度固定，但是咖啡的数量没有要求，容易证明其方案数是一个斐波那契数。对于统计合法方案数，除了每个段的内部满足要求，相邻段之间也需要满足临界处两侧不能同时是咖啡。考虑对每一段进行线性 \(dp\)（不考虑最后一段，假设共 \(n\) 段）：\(dp_{i}\) 表示只考虑前 \(i\) 段，方案数。发现这样的状态定义很单一，无法继续作转移，因为对于决策当前段，前一段的末尾是咖啡还是茶至关重要。因此重新进行状态定义：\(dp_{i,0/1}\)：只考虑前 \(i\) 段，且第 \(i\) 段的末尾是茶/咖啡，方案数。转移过程不多讲述，见官解，我们只关注下转移形式：

• \(dp_{i,0} \leftarrow dp_{i-1,0}\)
• \(dp_{i,0} \leftarrow dp_{i-1,1}\)
• \(dp_{i,1} \leftarrow dp_{i-1,0}\)
• \(dp_{i,1} \leftarrow dp_{i-1,1}\)

若没有修改，直接预处理所有段再跑线性 \(dp\) 足矣。但本题需要点修，因此要考虑用线段树维护上述 \(dp\) 转移过程。

这里就用到了蒟蒻没有接触过的东西——线段树维护区间乘法。其实没有多高大上，只是维护区间数乘变成了维护区间矩阵乘而已，只需要自己搓一个矩阵类，再把 \(pushup\) 部分改改就好了。

对于上述 \(dp\) 转移过程，我们很容易把其化为矩阵形式的转移：

\[[dp_{i,0}\space\space dp_{i,1}] = [dp_{i-1,0}\space\space dp_{i-1,1}] \times \left\{ \begin{matrix} f_{i,0,0} & f_{i,0,1} \\ f_{i,1,0} & f_{i,1,1} \\ \end{matrix} \right\} \]

其中 \(f_{i,0/1,0/1}\) 表示：考虑第 \(i\) 段的填充，第 \(i-1\) 段结尾放的是茶/咖啡，且第 \(i\) 段结尾放的是茶/咖啡，方案数。该值可以用组合数快速求出。

初始状态不考虑所有茶壶，即一个空序列，为 \([dp_{0,0}\space\space dp_{0,1}] = [1 \space\space 0]\)（位置 \(0\) 对序列无任何影响，因此可以默认该位置放的是茶；若放咖啡就有影响了）。对于所有段，在其结尾位置维护相应的 \(2 \times 2\) 转移矩阵，而其他位置放置单位矩阵即可。点修只会影响到最多两个矩阵，因此每次修改是 \(O(logn)\) 的。最后我们需要的就是 \([dp_{n,0}\space\space dp_{n,1}]\)。然而这还不是最终答案，因为还没有计入最后一段的转移。

具体细节见代码。

code