ABC 419 F（AC自动机+dp）
F
初见杀的一道好题，头一次遇到将字典树结点作为 \(dp\) 的其中一维状态的题目。
状态定义：\(dp[i][state][last]\): 考虑前 \(i\) 个字符，拥有的字符串集合的二进制表示为 \(state\)，且当前末尾的字符串前缀为 \(last\)（\(last\) 是字典树中的某个结点编号，表示的一定是模式串集合中的某个前缀。特殊地，\(last==0\) 时表示空串），方案数。
\(ans = dp[L][(1<<n)-1][0 \backsim sum]\)
\(init: dp[0][0][0] = 1\)
转移过程见代码即可。
这里特别讲一下 \(ACAM\) 中的 \(id\) 数组：代码中的 \(id[u]\) 在 字典树初始化后 (未 \(build\)) 的意思是：结点 \(u\) 表示的前缀 包含原模式串集合的二进制状态。而实际上，在当前构建的字符串末尾添加一个新字符时，新产生的 在模式串集合中 的字符串应当考虑所有以该新字符结尾的后缀。因此在 \(dp\) 状态转移过程中，包含模式串集合的二进制状态 那一维的转移若想正确，则 \(id[u]\) 实际上应该表示的是 结点 \(u\) 对应前缀字符串中的所有后缀在模式串集合中的二进制状态表示。而 \(fail[u]\) 链上的所有结点恰好可以表示这一点。因此只需要在 \(ac\) 自动机的 \(build\) 过程中，对每个结点的 \(id[u]\) 作 \(fail\) 链上的前缀 \(or\)，即可得到 能正确实现 \(dp\) 转移 的 \(id\) 数组。
// 最朴素的做法（未改变词频表ch[u][j]，需要fail指针一直绕圈，复杂度可能很高，但还是能过，并且理解起来更直观）。
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define fr first
#define se second
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
mt19937_64 rnd(time(0));
const int N = 2e5 + 10;
struct ACAM
{
vector<vector<int>> ch; // 字典树表，注意在执行build()函数后会改变
vector<int> fail; // 每个结点均有一个fail指针，指向当前结点表示的字符串匹配失败后，下一步需要找的最长可匹配的后缀对应的终止结点
vector<int> id; // id[p]： 字典树结点编号 -> 模式串编号 的映射
int idx; // 字典树中实际结点数量
void init(int n) // n为所有模式串的字符数量之和
{
ch.resize(n + 1);
ch[0].resize(26, 0);
fail.resize(n + 1, -1);
id.resize(n + 1, 0);
idx = 0;
}
void insert(string& str, int x) // 将所有模式串插入,形成的只是普通的字典树
{
int p = 0;
for (int i = 0; i < str.size(); i++){
int j = str[i] - 'a';
if (!ch[p][j]){
ch[p][j] = ++idx;
ch[idx].resize(26, 0);
}
p = ch[p][j];
}
// cnt[p]++;
id[p] |= (1 << x);
}
void build() // 在普通字典树的基础上建立AC自动机 -> 添加fail指针
{
queue<int> q; // 进入队列的点都是已知fail指针的点，每个点最多只进入一次队列
for (int i = 0; i < 26; i++){ // 先将根结点0的所有儿子加入队列（它们的fail指针均为0）
if (ch[0][i]){
fail[ch[0][i]] = 0;
q.push(ch[0][i]);
}
}
while (q.size()){
int u = q.front();
q.pop();
id[u] |= id[fail[u]];
for (int j = 0; j < 26; j++){
int v = ch[u][j];
if(v){ // ! 注意，在不改变词频表的情况下，建立fail指针需要一直绕圈
int f = fail[u];
while(f != -1 && !ch[f][j]){
f = fail[f];
}
if(f == -1){
fail[v] = 0;
}
else{
fail[v] = ch[f][j];
}
q.push(v);
}
}
}
}
};
const int MOD = 998244353;
int n, L;
string s[10];
int dp[105][1<<8][85];
void solve()
{
cin >> n >> L;
ACAM ac;
int tot_len = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++){
cin >> s[i];
tot_len += s[i].length();
}
ac.init(tot_len);
for(int i = 0; i < n; i ++){
ac.insert(s[i], i);
}
ac.build();
int node_sum = ac.idx;
dp[0][0][0] = 1;
for(int i = 0; i < L; i ++){
for(int state = 0; state < (1 << n); state ++){
for(int u = 0; u <= node_sum; u ++){ // 枚举前缀
vector<bool> vis(26, false);
for(int j = u; j != -1; j = ac.fail[j]){
for(int jj = 0; jj < 26; jj ++){
int v = ac.ch[j][jj];
if(v && !vis[jj]){
vis[jj] = true;
int n_state = state | ac.id[v];
dp[i + 1][n_state][v] = (0ll + dp[i + 1][n_state][v] + dp[i][state][u]) % MOD;
}
}
}
for(int jj = 0; jj < 26; jj ++){
if(!vis[jj]){
dp[i + 1][state][0] = (0ll + dp[i + 1][state][0] + dp[i][state][u]) % MOD;
}
}
}
}
}
int sum = 0;
for(int i = 0; i <= node_sum; i ++){
sum = (0ll + sum + dp[L][(1<<n)-1][i]) % MOD;
}
cout << sum << endl;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
// int T=1; cin>>T; while(T--)
solve();
return 0;
}
// 正常做法（在正常字典树基础上改变了ch[u][j]（可以理解为并查集中的路径压缩），转移时也无需跳fail指针，直接从当前状态转移即可）
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define fr first
#define se second
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
mt19937_64 rnd(time(0));
const int N = 2e5 + 10;
struct ACAM
{
vector<vector<int>> ch; // 字典树表，注意在执行build()函数后会改变
vector<int> fail; // 每个结点均有一个fail指针，指向当前结点表示的字符串匹配失败后，下一步需要找的最长可匹配的后缀对应的终止结点
vector<int> id; // id[p]： 字典树结点编号 -> 模式串编号 的映射
int idx; // 字典树中实际结点数量
void init(int n) // n为所有模式串的字符数量之和
{
ch.resize(n + 1);
ch[0].resize(26, 0);
fail.resize(n + 1, 0);
id.resize(n + 1, 0);
idx = 0;
}
void insert(string& str, int x) // 将所有模式串插入,形成的只是普通的字典树
{
int p = 0;
for (int i = 0; i < str.size(); i++){
int j = str[i] - 'a';
if (!ch[p][j]){
ch[p][j] = ++idx;
ch[idx].resize(26, 0);
}
p = ch[p][j];
}
id[p] |= (1 << x);
}
void build() // 在普通字典树的基础上建立AC自动机 -> 添加fail指针
{
queue<int> q; // 进入队列的点都是已知fail指针的点，每个点最多只进入一次队列
for (int i = 0; i < 26; i++){ // 先将根结点0的所有儿子加入队列（它们的fail指针均为0）
if (ch[0][i]){
q.push(ch[0][i]);
}
}
while (q.size()){
int u = q.front();
q.pop();
id[u] |= id[fail[u]];
for (int j = 0; j < 26; j++){
int v = ch[u][j];
if(v){
fail[v] = ch[fail[u]][j];
q.push(v);
}
else{
ch[u][j] = ch[fail[u]][j];
}
}
}
}
};
const int MOD = 998244353;
int n, L;
string s[10];
int dp[105][1<<8][85];
void solve()
{
cin >> n >> L;
ACAM ac;
int tot_len = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++){
cin >> s[i];
tot_len += s[i].length();
}
ac.init(tot_len);
for(int i = 0; i < n; i ++){
ac.insert(s[i], i);
}
ac.build();
int node_sum = ac.idx;
dp[0][0][0] = 1;
for(int i = 0; i < L; i ++){
for(int state = 0; state < (1 << n); state ++){
for(int u = 0; u <= node_sum; u ++){ // 枚举前缀
for(int j = 0; j < 26; j ++){
int v = ac.ch[u][j];
int n_state = state | ac.id[v];
dp[i + 1][n_state][v] = (0ll + dp[i + 1][n_state][v] + dp[i][state][u]) % MOD;
}
}
}
}
int sum = 0;
for(int i = 0; i <= node_sum; i ++){
sum = (0ll + sum + dp[L][(1<<n)-1][i]) % MOD;
}
cout << sum << endl;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
// int T=1; cin>>T; while(T--)
solve();
return 0;
}
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