2025杭电多校8 1012（古怪dp）

1012

这道题个人感觉与平常的 \(dp\) 题目大有不同，不好想，遂记录。

简述题意：给定一个排列（\(n \leq 3000\)），每次操作可以选定一个区间，并将区间内所有数均变成区间最小值，可进行任意次操作，求可以形成的不同序列方案数。

若是依照常见的状态定义（考虑前 \(i\) 个数，blala..，序列方案数），会发现很难入手，故需另辟蹊径。

观察到一个性质：对于某个数 \(c\)，它可能出现的位置一定是一段连续的子区间，且满足：

\[min_{l \leq i \leq r} a[] = c \]

而对不同最小值的操作顺序是可任选的，因此可以看作是对序列做如下变换：初始时序列内的每个位置均无任何数字（待填），每次可以任选某个位置，并将 该位置附近未赋值的位置 设置为 该位置上原来的数字（范围不能超过上述区间 \([l,r]\)）。求可形成序列的方案数。

考虑状态定义： \(dp_{i,j}\)：只考虑使用第 \(1 \backsim i\) 个数字操作，覆盖的前缀长度至少为 \(j\)，形成序列 \(a[1 \backsim j]\) 的方案数。

状态转移：决策第 \(i\) 个数字是否参与操作，覆盖位置 \(1 \backsim j\) 上的某些区间。

1. 不参与操作：即前 \(i-1\) 个数字覆盖位置 \(1 \backsim j\)：

\[dp_{i,j} \leftarrow dp_{i-1,j} \]

2. 参与操作，并覆盖 \(1 \backsim j\) 的某些位置：发现第 \(i\) 个位置在所有可操作位置的最右侧，分类讨论 \(i\) 和 \(j\) 的大小关系：

• \(i > j\)：若对第 \(i\) 个数操作，欲覆盖位置 \(1 \backsim j\)，则至少会覆盖到位置 \(j\)，且须满足条件 \(j \in [l_{i},r_{i}]\)。故转移为：

\[dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j-1} \times [l_{i} \leq j \leq r_{i}] \]

• \(i < j\): 若使用 \(a[i]\) 覆盖到的区间未达到位置 \(j\)，则一定是对前 \(i - 1\) 个数的操作覆盖到了位置 \(j\)，这种情况与 \(a[i]\) 不参与操作是等价的；否则，对 \(a[i]\) 的操作一定会覆盖到位置 \(j\)，此时转移便与上面的转移相同。

具体细节见代码。

\(feeling:\) 感觉这道题对于蒟蒻来说十分困难，想了很长时间才弄懂个一知半解，甚至还不清楚用这个思路解释是否可行。看来还是题做少了qwq。。。

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