欧拉路，欧拉回路

欧拉路，即“一笔划”路，要求路径上每条边只出现一次，每个点可以多次出现；欧拉回路即两个端点重合。

欧拉图：含有欧拉回路的图

半欧拉图：含有欧拉路的图

一个无向图含有欧拉路的充要条件：

• 含有 \(0\) 个或 \(2\) 个奇度数点
• 除了孤立点外，图连通（即边连通）

对于有向图，所有点的入度和出度均相等，或者存在一个点 \(a\) 有 入度-出度=1，另一个点 \(b\) 有 出度-入度=1，其他点的入度均等于出度。

求一个图的欧拉路：\(Hierholzer\) 算法

set<int> G[N];

vector<int> euler_path;
void dfs(int u){
    while(!G[u].empty()){
        int v = *G[u].begin();
        G[u].erase(v);
        G[v].erase(u);
        dfs(v);
    }
    euler_path.pb(u);
}

dfs(start); // 奇数度点数为0时，任意点均可；为2时，只能是两个端点

注意在有向图中，经上述算法求出的欧拉路是倒序的，需要 \(reverse\)；而无向图不存在反转的问题。

如果图的规模足够小，可以直接用邻接矩阵存图；由于涉及到删边，需要用 \(set\) 存图，而不能用 \(vector\)。

理解：深搜过程中，优先将无出边的点放入答案路径中，而无出边的点必然对应欧拉路的末尾，因此可以理解为存储的路径是原图倒序的欧拉路。