牛客周赛102 G（异或哈希trick）

牛客周赛102 G

简述题意：给定长度为 \(n\) 的序列与 \(q\) 次查询，每次查询区间 \(a[l, r]\) 内是否为双排列。

双排列：长度为偶数 \(n\)，且数字 \(1,2,...,\frac{n}{2}\) 均恰好出现 \(2\) 次。

做法：不难想到先用最普通的异或哈希方法，通过查询区间异或值为 \(0\) 来保证区间内每种数的出现次数均为偶数。

其次，区间内需要保证 \(1\backsim \frac{(r - l + 1)}{2}\) 中每个数均出现。那么我们不难想到用 哈希二进制集合 来判断这件事情：可以预处理 \(1\backsim max(a)\) 的所有前缀异或哈希值，进而可以做到 \(O(1)\) 查询区间内 \(1\backsim \frac{(r - l + 1)}{2}\) 是否均出现。而对于原序列，可以对每种数交替赋上对应哈希值（不赋值则为0）。这样对于任意数字，在区间内出现次数为 \(x\) 时（\(x\) 为偶数），一定只有 \(\frac{x}{2}\) 个数赋上了相应的哈希值。那么显然只有这个数出现 \(2\) 次才会对哈希异或有贡献，否则无贡献。

保证了上述两个性质，即可证明查询区间为双排列。具体细节见代码。

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