ABC 416 G（字符串交换邻项贪心+DP）

G

首先考虑一个问题：给定 \(n\) 个字符串，输出将它们按照一定顺序首尾拼接后，字典序最大的字符串。

这是一道模板题：P1012

很容易往一个错误的方向去想：直接按照原字符串的字典序降序排序来拼接。错误的根本原因在于字符串的长度是参差不齐的。比如：5 和 526 两个数，若按照字典序降序来拼接，答案是 5265，而实际上，答案是 5526。

正确做法：对于任意两个字符串 \(a,b\)，按照 \(a+b>b+a\) 的自定义排序方式对所有字符串排序，再拼接。

证明也很简单：将得到的字符串拆分成原字符串集合的若干段，考虑任意两个相邻段，均会满足上述的自定义偏序关系。否则便可能存在 \(a + b < b + a\) 的情况，此时交换 \(a, b\)，答案必然更优。

再详细的证明可以看该题题解首页：tutorial

回到本题，考虑最后形成的字符串大概是什么样的形式（这里直接给出结论，证明见官解或其他博客吧，蒟蒻不太会证qwq）：将所有字符串按照上述自定义排序后，答案一定是最小字符串形成的无限循环串的前缀。

既然答案形式已经固定，显然长度越短，字典序也越小。因此本题等价于求：用给定字符串集合中的恰好 \(k\) 个字符串（可重复），可以构成给定形式前缀的最短长度。

由于字符串集合中所有字符串的长度均 \(\leq 10\)，而最劣情况下的答案是 \(k\) 个最小字符串构成的循环串，长度不超过 \(1e6\)，因此可以考虑对模式串（上述的无限循环串）进行 \(dp\)：

状态定义：\(dp_{i}\) 表示构成模式串\([1,i]\)，需要给定字符串集合中的字符串的最大数量。

\(ans:\) \(dp[i] >= k\) 的最小的 \(i\)，则答案为模式串\([1,i]\)

\(init: dp[0] = 0, dp[其他] = -inf\)

\(trans:\) 将字符串集合内的所有字符串均塞入一个 \(map\) 中，考虑到所有字符串长度最多为 \(10\)，因此可以直接暴力枚举当前需要拼接的字符串的长度。若对应需要拼接的字符串存在，则直接从之前拼好的前缀转移过来即可：

\[ dp[i] = max(dp[i], dp[j - 1] + 1) \]

复杂度 \(O(n*(max|S|)^{2}*log(max|S|))\)，具体细节见代码。

code