2025杭电多校1 1007（高维前缀和 | SOSdp）

1007

本题题解先略过，重点看求 \(dp[u][]\) 前缀和的部分：

auto s = dp[u];
for(int c = 0; c < m; c ++){
    for(int state = 0; state < (1 << m); state ++){
        if(!(state >> c & 1)){
            s[state] += s[state ^ (1<<c)];
        }
    }
}

（\(m\) 为二进制位数，\(state\) 为二进制状态，\(dp\) 是一个二维数组：\(dp[u][state]\)）

现在对 \(dp\) 数组的 \(state\) 这一维做前缀和，要求：

\[s[state] = \sum_{all\space state'} dp[state'], 其中state 为 state' 的子集 \]

可以用 \(O(m * 2^{m})\) 的复杂度获得 \(s\) 数组，如上述代码。具体证明可以自己手动模拟一下。

\(upd:\) 本来以为这是个 \(trick\)，结果发现是 高维前缀和的一个特例 —— \(SOSdp\)，（也称子集和 \(dp\)。可以看作维度为 \(m\)，每一维长度为 \(2\) 的高维前缀和，\(s[0]\) 仅表示 \(a[0]\)，\(s[1]\) 表示 \(a[0] + a[1]\)）。学会的新知识点个数 ++。

那么反过来，如果要求：

\[s[state] = \sum_{all\space state'} dp[state'], 其中state' 为 state 的子集 \]

代码实现：

auto s = dp[u];
for(int c = 0; c < m; c ++){
    for(int state = 0; state < (1 << m); state ++){
        if(state >> c & 1){
            s[state] += s[state ^ (1<<c)];
        }
    }
}

只需要将 \(if\) 判断中的 ! 去掉即可。

code