矩阵快速幂与邻接矩阵trick

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对于一个稠密图（\(n \leq 500\)），可以直接构造它的邻接矩阵 \(G\)。而利用该邻接矩阵可以直接求出任意两点 \(u, v\)，从 \(u\) 到 \(v\) 经过恰好 \(k\) 条边的方案数：求出 \(G^{k}\) 即可，\(G[u][v]\) 即为所求。

证明：利用了 \(Floyd\) 原理：从 \(u\) 到 \(v\) 经过 \(k\) 条边，可以通过 \(u\) 到 \(w\) 经过 \(k-1\) 条边，再通过 \(w\) 到 \(v\) 经过 \(1\) 条边来递推求得，枚举所有可能的中转点 \(w\) 即可。表达式为：

\[G_{k}[u][v] = \sum_{w=1}^{n} G_{k-1}[u][w] * G_{1}[w][k] \]

可以发现这恰好可通过 \(G^{k-1}*G\) 来得到，证毕。

对于本题，只需要按照题意构造出相应的邻接矩阵，然后矩阵快速幂即可。具体细节见代码。

code