牛客周赛100 G（期望dp）

G

一个显然的贪心：成功概率大的 \(b_{i}\) 一定分配给需要变成更大的数。因此排序后，整个问题便被划分成了 \(n\) 个独立的子问题，每个子问题的形式为：需要将一个数经某种操作从 \(0\) 变为 \(i\)，其中该操作有 \(b_{i} \%\) 的概率将该数加 \(1\)，否则（即 \(1 - b_{i} \%\) 的概率）若该数 \(>0\) 减 \(1\)，\(=0\)不变，求期望操作次数。

定义 \(dp_{x}\)：将 \(x-1\) 变为 \(x\) 需要操作数的期望次数

由状态定义：\(ans = \sum_{i=1}^{x}dp_{x}\)

状态转移分两种情况：

1. 第一次操作成功：概率 \(b_{i} \%\)，共需要一次操作。
2. 第一次操作失败：概率 \(1 - b_{i}\%\)，操作后又分两种情况：

• \(x=1\) \(\Rightarrow\) 无变化，当前值仍为 \(x-1\)：

\[dp_{x} = b_{i}\% * 1 + (1-b_{i}\%)*(1 + dp_{x}) \]

• \(x>1\) \(\Rightarrow\) 失败后当前值变为 \(x-2\) \(\Rightarrow\) 需要先变为 \(x-1\)，再变为 \(x\)：

\[dp_{x} = b_{i}\% * 1 + (1-b_{i}\%)*(1 + dp_{x-1} + dp_{x}) \]

化简求出 \(dp_{x}\)，再求出 \(ans\) 即可。

吐槽一下蒟蒻补题的过程：推式子及其折磨人。最后终于推出了一大坨，一长串式子作为答案，用 python 又码了很长时间，怎么改都是超时。最后让AI帮我把代码改成CPP版本才过qwq。看来做算法题还是得用CPP呐。。。

code

\(upd\)：蒟蒻后来发现python选错版本了，应该选pypy3，而之前一直用的python3（悲。。。

后来发现不需要推式子：\(b_{i}\) 的取值只有 \(100\) 种，因此将所有的 \(dp[b[i]][1到n]\) 求出，并在递推过程中作前缀和即可，复杂度 \(O(100n)\)。

code