edu164E（数论分块+思维）

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先考虑 \(O(n*max(a_{i}))\) 暴力做法：对于每个 \(k\in[1,max(a_{i})]\)，第 \(i\) 个怪物需要恰好 \(\lceil \frac{a_{i}}{k} \rceil\) 次攻击。不难想到将 \(a\) 数组转化为 \([\lceil \frac{a_{1}}{k} \rceil], \lceil \frac{a_{2}}{k} \rceil, ..., \lceil \frac{a_{n}}{k} \rceil]\)，则问题转化为：每次操作可选取任意区间 \([l, r]\)，必须保证区间内的数均大于0，然后将 \([l, r]\) 内的数减1，求将序列内所有数减为0的最小操作次数。

赛时一直在想 \(ds\) 做法，死活想不出来。后来看了题解，发现结论如此之简单：答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}max(0, a_{i} - a_{i-1})\)。

证明：对于 \(\forall i\in[2,n]\)，只要 \(a_{i-1}\) 还未减到0，则在考虑减小 \(a_{i-1}\) 时，一定可以顺带着将 \(a_{i}\) 减小；当 \(a_{i-1}\) 被减为0时，才考虑单独减小 \(a_{i}\)。因此对于 \(\forall a_{i}\)：

• \(a_{i-1}<=a_{i}\) 时，将 \(a_{i}\) 减为0真正需要被计入贡献为 \(a_{i} - a_{i-1}\)
• \(a_{i-1}>a_{i}\) 时，在减小 \(a_{i-1}\) 的过程中 \(a_{i}\) 已先一步减为 \(0\)，因此不需要额外对 \(a_{i}\) 操作，相当于真正有用的操作数为0。

现在考虑优化：根据数论分块知识，\(\lceil \frac{a_{i}}{k} \rceil\) 最多只有 \(2\sqrt a_{i}\) 种取值。因此可以在枚举 \(k\) 的过程中，动态地修改相应变化的 \(\lceil \frac{a_{i}}{k} \rceil\) ，总修改次数不超过 \(n *2\sqrt a_{i}\) 次，在修改过程中动态维护 \(\sum_{i=1}^{n}max(0, a_{i} - a_{i-1})\) 即可。具体细节见代码。

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