数论分块

简要补充数论分块的相关知识

数论分块含义：对于给定 \(n\)，可以按照 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 相同的区间 \(i\in[l,r]\)，将区间 \([1,n]\) 分成多个块（显然块的长度从左往右快速增长）。

有用的几个结论：

1. 对于 \(i\in[1,n]\)，区间 \([1,n]\) 最多分成 \(2\sqrt n\) 块。

• 证明：
• (1) \(i\in[1,\sqrt n]\) 时，\(i\) 只有 \(\sqrt n\) 种取值， \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的取值只有 \(\sqrt n\) 种。
• (2) \(i\in(\sqrt n,n]\) 时，\(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \in[1,\sqrt n]\)，\(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的取值只有 \(\sqrt n\) 种。
  综上，\(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的取值只有 \(2\sqrt n\) 种，块数最多为 \(2\sqrt n\) 块。

2. 对于 \(\forall x\)，可快速求得 \(x\) 所在块的右端点 \(r\)：\(r = \lfloor \frac{n}{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor\) 。

3. 对于向上取整 \(\lceil \frac{n}{i}\rceil\) 的数论分块：由于 \(\lceil \frac{n}{i}\rceil = \lfloor \frac{n+i-1}{i}\rfloor = \lfloor \frac{n-1}{i}\rfloor + 1\)，因此 \(\lceil \frac{n}{i}\rceil\) 的分块结构与 \(\lfloor \frac{n-1}{i}\rfloor\) 的分块结构相一致，只是对应取值相差1。（需注意 \(i=n\) 时分母c\((n-1) / i\)c为 \(0\)，需要作特殊处理）

实用代码：对于 \(n\) 的 \(O(2\sqrt n)\) 个整除分块，从左向右遍历所有块（\(l\) 是块的左端点，\(r\) 是块的右端点）：

for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1){ // 枚举每个块的左端点
    // ... 
    r = n / (n / l); 
}

上取整数论分块：

for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1){
    // ...
    if((n - 1) / l == 0){ // 注意上取整数论分块的分子要减1
        break;
    }
    else{
        r = (n - 1) / ((n - 1) / l);
    }
} 

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