7.5——1026F

1026F

一道很纯粹的思维+分类讨论，个人认为出得非常不错。

\[f(x, y) = (x\space mod\space y) + (y\space mod\space x) \]

问题可以转化为给定 \(y\)（对应\(b_{i}\)），\(x\) 可以取 \(b_{1到 i-1}\) 中的某个值，求 \(max(f(x, y))\)。

我刚开始的思路是：对 \(f(x, y)\) 进行单调性分析（\(x\) 为变量，\(y\) 为常量）：分 \(x < y\) 与 \(x > y\) 两种情况讨论。而经打表发现 \(x < y\) 时单调性无任何规律，遂放弃这个想法，看看题解。

首先需要破解 \(f(x, y)\) 的三个重要性质：

1. \(\forall x,y，且x<y\)，均有：\(x <= f(x,y) <= y\)。
   证：

\[ f(x, y) = x + (y\space mod\space x) = x + y - \lfloor \frac{y}{x} \rfloor * x \]

• \(y\space mod\space x >= 0\) -> \(f(x, y) >= x\)
• \(\lfloor \frac{y}{x} \rfloor >= 1\) -> \(f(x, y) <= y\)

2. \(\forall i,j，且b_{i}<b_{j}\)，若 \(f(b_{i},b_{j})\) 取最大值，则必有：\(b_{j} = b_{max}\)
   证：利用反证法：若 \(b_{j}\) 不是 \(b_{max}\)，则一定 \(\exists b_{k} > b_{j}\)。那么由第一个结论：\(f(b_{i}, b_{j}) <= b_{j}\)，\(f(b_{j}, b_{k}) >= b_{j}\) -> \(f(b_{i}, b_{j}) <= f(b_{j}, b_{k})\)。因此 \(b_{k}\) 一定是 \(b_{max}\)。

3. \(\forall i,j，且b_{i}<b_{j}\)，若 \(b_{j} < 2b_{i}\)，则有：\(\lfloor \frac{b_{i}}{b_{j}} \rfloor = 1\) -> \(f(b_{i}, b_{j}) = b_{j}\)。

依据上述三个结论，可以进行以下分讨：令 \(b_{max} = b_{1到i-1}\)，假设当前循环到 \(b_{i}\)：

1. \(b_{i} <= b_{max}\)：则 \(b_{max}\) 不会发生改变。由结论2，只需要用 \(f(b_{max}, b_{i})\) 来更新当前答案即可。
2. \(b_{max} < b_{i} < 2b_{max}\)：结合结论1,3：\(f(b_{i}, b_{max}) = b_{i}\)，为所有可行答案的最大值。则将答案直接更新为 \(b_{i}\) 即可。
3. \(2b_{max}<=b_{i}\)：由前缀最大值的非递减性，可知这种情况发生次数至多 \(log_{2}A\) 次，不会很多。因此遇到这种情况直接暴力更新即可，复杂度 \(O(nlogA)\)。

具体实现见代码。

code