树上拓扑序计数

A

用栈对 \(01\) 序列模拟后，得到若干棵树构成的有向图（与普通的有向树相比，边是逆序的），答案即为这个森林的拓扑序个数（对于每棵树均是独立的，可以任意排布顺序）。将每棵树的根都连向一个超级源点，就将森林整合成了一棵树。则问题等价于求这棵树的拓扑序个数。

有两种做法：

1. 公式法：设一棵有向树的大小为 \(n\)，根为 \(root\)，则：

\[ans = \frac{siz[root]!}{\prod_{u=1}^{n}siz[u]} \]

可以利用下面的递推式作进一步简化得到。
2. 令 \(f[u]:\) 以 \(u\) 为终点，拓扑序个数。则递推式为：

\[f[v] = (\prod_{v->u} f[u]) * \frac{(siz[u]-1)!}{siz[v]!} \]

简略证明：在以 \(u\) 为终点的有向树形成的拓扑序中，\(u\) 一定在最后一个位置，则相当于求前 \(siz[u] - 1\) 个点形成的拓扑序个数，其中每个 \(v\) 部分存在拓扑序的约束关系，不同 \(v\) 的部分两两独立，互不影响，可随意排布。则可以先求所有点的全排列个数，再除以每一个 \(v\) 部分的全排列个数，最后再乘上每一部分的拓扑序约束关系，即为整棵树的拓扑序个数。

（注意有向树边的正向反向的拓扑序个数是相同的）

code1 递推
code2 公式