CF 1015 div1+2（A~E）

虽然这一场没有打好，但感觉这一场需要反思的地方很多，遂记录。

A

赛时直接看样例猜规律了。

\(n\) 为奇数时，显然 \(n, 1, 2, ..., n - 1\) 合法。
\(n\) 为偶数时，可以证明 \(n\) 放在哪里都不合法（证明略）。

code

B

显然等式左侧的最小值一定是整个数组的最小值，否则最小值在等式右侧的 \(gcd\) 部分，由于 \(gcd\) 的递减性，其值一定 \(<=\) 整个数组的最小值。而等式左侧的 $min > $ 整个数组的最小值，显然矛盾。

因此问题等价于从 去除了其中某一个最小值后 的数组中选出一些数，使得它们的 \(gcd\) 等于整个数组的最小值。显然这些数一定是该最小值的倍数。再利用 \(gcd\) 的递减性，直接取所有最小值的倍数并计算 \(gcd\)，看是否等于最小值即可。

完整思路想到了，但还是吃了一发 wa2——是由于自己没想清楚瞎特判导致的。因此以后对于某道题，能想出正解一定要往正解上想，尽量少依赖特判。

code

C

赛时出的速度倒也不慢，但感觉还是写得太麻烦了，而且这种维护映射的题目也做过不少，却并没对快速解出这道题有太多帮助。思路很简单，难点在于实现，因此就不多说思路了。

维护的操作本质上相当于：给定一些字符，它们能两两组成回文串，但被打乱了。每次可以交换两个字符的位置，需要你将这个串经过任意次交换操作重新变成回文串，并要记录交换操作。

赛时的想法是，直接用 \(set\) 实时维护每个字符的两个位置（\(n\) 为奇数时特判），暴力模拟。但代码看上去比较臃肿。

但思来想去，觉得虽然自己写得比较麻烦，但思路是非常清晰易懂的。看了哥哥与tourist等大佬简洁的代码也看得不是很懂（蒟蒻对于这种嵌套映射维护还是有些畏惧的。。。）。那就先把代码放在这里吧，等蒟蒻以后能变强一些再慢慢领悟。

code1

补：看了 yvbf 叔叔发的视频讲解，感觉很不错，遂补上。

code2

D

一道并不难的构造题，但牢了 2h 也没写出来，而实际代码量不超过5行。本题也是蒟蒻最想反思的一道题。

先反思自己为什么没想出来：还是犯了自己之前犯过多回的大忌：往一个自己认为很对，但实际上不对的思路猛想，并觉得自己想得很对而不去变通。其实当遇到这样的情况时，让脑子重新变得清醒起来，再去看这道题，并重新加以理解，是完全可以在短时间内做出来的。

现在再重新深入思考一下这道题的来龙去脉：

其实这道题说是构造题，但本质上是一个博弈题：你 与 对这个序列做删除操作的人 博弈，你构造一个尽可能让最终 \(mex\) 最大的序列，他尽可能让你构造的序列在经过操作后 \(mex\) 最小。

而对于 \(mex\)，应当想到贪心。那么考虑对手做删除操作时会怎样做：他一定会先想办法将你的序列内的所有 \(0\) 删除；如果发现做不到，再去考虑能不能将所有 \(1\) 删除，以此类推。

那么你需要做的事情就很明显了：假设你的预期答案为 \(mex\)，那么你需要保证：对于数字 \(0到mex-1\)，无论他怎样操作，都不能被删除。而想让这个 \(mex\) 尽可能大，就需要在有限的 \(n\) 个数中，尽量用最少的数字来保证“ \(0到mex-1\) 不会被删除” 这一点，并将剩下的数字用于继续扩大 \(mex\)。

那么就来考虑：怎样保证 \(0到mex-1\) 不会被删除呢？

先说结论：对于任意一种相同的数字（比如 \(0\)），它们的两两间隔至少为 \(k\)。这样可以保证每次删除时，这个数字最多只会被删除一次。感性理解一下这一点会是比较优的构造方式。

再考虑最多删除 \(m\) 次这个操作：显然他删除的数越多对他越有利。因此可以等价于恰好删除 \(m\) 次。那么对于每种数，要想保证在所有操作后不被删除，一个必要条件是：该数在序列中出现次数至少为 \(m + 1\) 次。

综合考虑这两点，可以发现：连续 \(m + 1\) 个 \(0 到 k - 1\) 的循环序列看上去是非常好的构造方法，事实上也是如此。这样可以保证 \(0 到 k - 1\) 中的每个数字都不会被删除。

但其实 \((m + 1) \times k\) 和 \(n\) 的大小关系是不确定的。因此需要分类讨论一下：

1. \((m + 1) \times k <= n\)：前面所说的 连续 \(m + 1\) 个 \(0 到 k - 1\) 的循环序列一定能被构造出来，因此 \(mex\) 至少为 \(k\)。还可以添加一些数，考虑让 \(mex\) 变得更大：无非就是加入一些 \(k, k + 1\) 之类的数。那么对手在操作时，会发现 \(0 到 k - 1\) 一定不会被删除，于是会想尽办法删除你的 \(k, k + 1\) 这些 \(>= k\) 的数。若想保证它们不会被删除，则最好的办法就是：在前面构造的连续 \(m + 1\) 个 \(0 到 k - 1\) 的循环序列中顺次添加更大的数字。这样的话间隔会逐渐变大，但还能保持 “每次删除时，这个数字最多只会被删除一次” 这一性质。再考虑 “每个数最多出现 \(m + 1\) 次即可”，正确性更加显然。
   那么这种情况的构造方式就出来了：最大可构造的数即为 \(n / (m + 1)\)，这样可保证序列中含有至少 \(m + 1\) 个完整的循环节 \(0, 1, ... , n / (m + 1)\)，\(mex\) 至少为 \(n / (m + 1)\)。

2. \((m + 1) \times k > n\)：也就是前面所说的 连续 \(m + 1\) 个 \(0 到 k - 1\) 的循环序列不能被完整构造出来。但显然仍需要保证 “它们的两两间隔至少为 \(k\)。这样可以保证每次删除时，这个数字最多只会被删除一次” 这一性质。而由 \(k \times m < n\) 这个性质可知，只有最后一个循环节不能被完整构造出来。那么这种情况的构造方式便是：循环节长度仍然为 \(k\)，舍去完整循环序列中最后一个循环节的后半段即可。此时最大 \(mex\) 为 \(n - m \times k\)。

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E

待补。。。

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