杭电春季赛5 1004（矩阵乘法优化dp）

1004

考虑缩小问题规模：

首先，可以将 1~n 序列内的所有数都模 \(m\)，这样值域就缩减为了 \([0, m - 1]\)。

其次，对于模 \(m\) 的某个剩余类内的所有数，选其中的 \(i\)，\(m + i\)，\(2m + i\)... \(km + i\) 个数并无差别。这样 \([0,m - 1]\) 内每个数的个数也可以缩减到 \(<= m\) 的范围内来考虑。

至此，所有相关的数据范围都被缩减到了 \(m\) 以内。可以考虑 \(dp\):

\(dp[i][j][k]\)：考虑数字0~i，其中选 \(j\) 个数字 \(i\)，选取的子集内所有数之和模 \(m\) 为 \(k\)，方案数。

显然 \(ans = \sum_{j=0}^{m-1}dp[m - 1][j][0]\)。

\(trans\)：

\[dp[i][j][(k + i * j)\space mod \space m] = \sum_{j=0}^{m-1} dp[i - 1][j][k] \times d[i][j] \]

\[d[i][j] = C_{num[i]}^{j} + C_{num[i]}^{j + m} + C_{num[i]}^{j + 2m} + ... + C_{num[i]}^{j + km} \]

第二维可以利用前缀和优化 \(dp\) 加速。

转移复杂度看似也是 \(O(m^{3})\) 的，但实际上 \(d[i][j]\) 的计算也非常耗时。

（本篇重点）考虑如何计算 \(d[i][j]\)：

观察 \(d[i][j]\) 的表达式，其中 \(num[i]\) 的范围特别大，不可能计算其中的每一项。可以利用 \(d[i][j]\) 的定义式来巧妙转换下思路：

\(d[i][j]\) 的另一种表述：有 \(num[i]\) 个数字，这些数字两两不同（在模 \(m\) 之前，它们是互不相同的），要求选择的数字数量 模\(m\) 后为 \(j\)，方案数。

定义 \(f[i][j]\)：考虑前 \(i\) 个数，选取它们的某个非空子集，数量 模\(m\) 后为 \(j\)，方案数。

数组 \(f\) 的转移式可表示为：

\[f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1] \]

特殊地，当 \(j = 0\) 时，有：

\[f[i][j] = f[i - 1][0] + f[i - 1][m - 1] \]

这里的 \(i\) 会达到 \(O(n)\) 级别，特别大，不可能直接递推。

考虑用矩阵来加速递推过程：定义矩阵 \(A\)（大小以 \(7 \times 7\) 为例，实际大小为 \(m \times m\)）：

\[ \left\{ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right\} \]

并设大小 \(1 \times m\) 的矩阵 \(B\) 为：

\[ \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right\} \]

\(d[i]\) 实际上是一个 \(1 \times m\) 的矩阵。矩阵 \(A\) 实际上就是每一步转移时的因子（每一轮都固定，因此最终可以表示为 \(A\) 的次幂，可以用矩阵快速幂计算）。而矩阵 \(B\) 就是 \(f[0]\)中初始的每一项（只有 \(1\) 种方案：不选数字。模 \(m\) 结果默认为 \(0\)）。

因此，\(d[i]\)，\(A\)，\(B\) 之间的转移式可写作：

\[d[i] = B \times A^{num[i]} \]

其中 \(A^{num[i]}\) 这一项用矩阵快速幂来直接计算。

对于 \(i \in [0, m - 1]\) 中的每一项，都按上述方式计算，总复杂度是 \(O(m^{4}logn)\) 的（不是最优的复杂度，提交也会 \(TLE\)，不过整个过程都是本蒟蒻自己摸索出来的，只是为了做一次记录。正解暂时还不想补qwq...）

TLE code