3.27 —— 925 G

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限时每日一题day21。今天的题感觉很思维，拼尽全力无法战胜，看完题解直呼精妙。

需要观察合法摆放序列的性质：一个重要的性质是，拼图1和拼图2在所有合法序列中形成的子序列一定是交替的。因为两个拼图1之间如果没有拼图2，那么必然不合法，同理两个拼图2之间也不能没有拼图1。那么只有当 \(\mid c1 - c2 \mid <= 1\) 时才有解，否则无解。

交替摆放完所有拼图1和拼图2后，只剩下拼图3和拼图4，那么接下来就只需要考虑拼图3和拼图4的摆放。还可以观察到，每个拼图1与拼图2之间只能放拼图3（不再考虑拼图1和拼图2），每个拼图2与拼图1之间只能放拼图4。拼图1左侧只能放拼图4，拼图2左侧只能放拼图3，拼图1右侧只能放拼图3，拼图2右侧只能放拼图4。这样就相当于将拼图3和拼图4的摆放情况独立了，可以分别讨论，再用乘法原理得到答案。

将上述每个位置想象成一个盒子，那么问题就等价于往 \(n\) 个不同的盒子里放 \(m\) 个相同的小球，每个盒子可以空，方案数。这个可以用隔板法解决，答案是 \(C_{n + m - 1}^{m - 1}\)。

三种情况分类讨论即可，具体细节见代码。

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