ABC 337 G（主席树）

最近刚学完主席树，找了道题巩固一下，还是非常有收获的。

题目链接：problem

若只让求\(f(1)\)，则还是比较简单的——用权值树状数组维护\(dfs\)路径上的数，每次查一下在 递归路径中\(>\)当前结点值 的结点数量，累加起来即为\(f(1)\)。

可是题目要求将\(f(1)到f(n)\)全部求出，且\(n<=2e5\)，显然不能对每个点都\(dfs\)一次来求，需要利用\(f(1)\)来计算出其他答案，这显然是换根\(DP\)的思路：

设\(v\)是\(u\)的儿子（整棵树以\(1\)为根），若\(f(u)\)已知，可以推出\(f(v)\)，则问题解决。

画出换根前后的两个图，可以发现：

f(3) = f(1) - 1对红色子树（包括3）的贡献 + 3对蓝色子树（包括1）的贡献

这里的贡献可以理解为逆序对的数量：

1. \(1\)红：对于红色子树内的所有点\(v\)，满足\(v<1\)的\(v\)的数量
   （\(1\)作为\(w\)）。此贡献在\(1\)下移后消失。
2. \(3\)蓝：对于蓝色子树内的所有点\(v\)，满足\(v<3\)的\(v\)的数量
   （\(3\)作为\(w\)）。此贡献在\(3\)上移后产生。而计算这个必须用
   \(v - 1\)（\(<v\)的总数量）再减去红色子树中\(v<3\)的\(v\)的数量得到（注意不能用蓝色子树，因为右图是换根后的想象图，而左图中的红色子树是真实存在的）。

因此，计算\(f(u)\)，只需要知道在以\(u\)为根的子树中\(<\)某个定值\(k\)的数的数量即可。

可以发现，若将子树理解为子区间，则问题就转化为：查询给定区间的任意子区间中\(<k\)的值的数量。这个问题就是主席树的板子。

而子树恰好可以映射成子区间 -> 只需要处理出\(dfn\)序，这样一棵子树就恰好对应\(dfn\)数组中的一个连续的区间，所有子树就成为了\(dfn\)数组的子区间，对这个\(dfn\)序列建好主席树，对每个点用它的父节点递推计算答案即可，复杂度\(O(nlogn)\)。

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