四元数运算

四元数运算[编辑]

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与标量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector；i、j与k)的结合。

定义两个四元数:

q = a + \vec{u} = a + bi + cj + dk
p = t + \vec{v} = t + xi + yj + zk

其中\vec{u}表示矢量<b, c, d>，而\vec{v}表示矢量<x, y, z>.

加、乘和一般函数[编辑]

四元数加法：p + q
跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来：
p + q = a + t + \vec{u} + \vec{v} = (a + t) + (b + x)i + (c + y)j + (d + z)k

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：pq
两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是：

pq = at -\vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u} + \vec{v}\times\vec{u}

pq = (at - bx - cy - dz) + (bt + ax + dy - cz)i + (ct + ay + bz - dx)j + (dt + za + cx - by)k \,

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:

qp = at -\vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}

四元数点积： p · q
点积也叫做欧几里得内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

p \cdot q = at + \vec{u}\cdot\vec{v} = at + bx + cy + dz

点积可以用格拉斯曼积的形式表示:

p \cdot q = \frac{p^*q + q^*p}{2}

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

p \cdot i = x

四元数外积：Outer(p,q) 

欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:

\operatorname{Outer}(p,q) = \frac{p^*q - q^*p}{2}

\operatorname{Outer}(p,q) = t\vec{u} - a\vec{v} - \vec{v}\times\vec{u}

\operatorname{Outer}(p,q) = (tb - ax + cz - dy)i + (tc - ay + dx - bz)j + (td - az + by - xc)k

四元数偶积：Even(p,q) 

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

\operatorname{Even}(p,q) = \frac{pq + qp}{2}

\operatorname{Even}(p,q) = at - \vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u}

\operatorname{Even}(p,q) = (at - bx - cy - dz) + (ax + tb)i + (ay + tc)j + (az + td)k

四元数叉积：p × q

四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：

p \times q = \frac{pq - qp}{2}

p \times q = \vec{u}\times\vec{v}

p \times q = (cz - dy)i + (dx - bz)j + (by - xc)k

四元数的逆：p−1

四元数的逆通过p−1p = 1被定义。 它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：

p^{-1} = \frac{p^*}{p\cdot p}

一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数除法：p−1q 

四元数的不可换性导致了 p−1q 和 qp−1的不同。 这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。

四元数标量部：Scalar(p) 

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

1\cdot p = \frac{p + p^*}{2} = t

四元数向量部：Vector(p) 

四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

\operatorname{Outer}(1, p) = \frac{p - p^*}{2} = \vec{u} = bi + cj + dk

四元数模：|p| 

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

|p| = \sqrt{p \cdot p} = \sqrt{p^*p} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}

四元数符号数：sgn(p) 

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

\sgn(p) = \frac{p}{|p|}

四元数辐角：arg(p) 

辐角函数可找出一4-向量四元数偏离单位标量(即：1)之角度。此函数输出一个标量角度。

\arg(p) = \arccos\left(\frac{\operatorname{Scalar}(p)}{|p|}\right)

 

 



posted @ 2018-08-21 17:23  Jerry_Jin  阅读(1876)  评论(0)  编辑  收藏  举报