<学习笔记> 二分图

二分图最大匹配：

定义：给定一个二分图 \(G\)，即分左右两部分，各部分之间的点没有边连接，要求选出一些边，使得这些边没有公共顶点，且边的数量最大。

方法：Dinic

二分图的最小顶点覆盖

定义：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边。最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。

定理：图最小顶点覆盖 = 二分图最大匹配数

二分图的最大独立集

定义：选出一些顶点使得这些顶点两两不相邻，则这些点构成的集合称为独立集。最大独立集为包含顶点数最多的独立集。

定理：最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖

二分图的完美匹配

可以覆盖所有点的匹配，所以完美匹配就是最大匹配，而最大匹配比一定是完美匹配。

Hall 定理

用处：判断二分图是否存在完美（饱和）匹配

对于二分图 \(G\)，设左部点 \(V_L\) 的子集 \(T\) 的邻域 \(N_G(T)\)，则二分图对左部点存在饱和匹配的充要条件是：

\[\forall T\in V_L,|T|\le |N_G(T)| \]

就是左侧任意一个左侧点集向另外一个点集连边，任意这样的子集所能连到的对应的节点集合大小大于当前集合，就存在完美匹配。

二分图的最大团

定义： 团：选出一些点，使其两两之间都有边。 最大团：点数最大的团

定理：二分图的最大团 = 补图的最大独立集

补图的定义是：对于二分图中左边一点x和右边一点y，若x和y之间有边，那么在补图中没有，否则有。

感性理解：最大独立集为两两之间没有边，那么补图的最大独立集说明在原图中两两之间有边，那么就是原图的最大团