<学习笔记> 组合数学

插板法

问题一：现有 \(n\) 个 完全相同的元素，要求将其分为 \(k\) 组a，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？

考虑拿 \(k-1\) 块板子插入到 \(n\) 个元素两两形成的 \(n-1\) 个空里面。

所以答案就是

\[\binom{n-1}{k-1} \]

问题二：如果问题变化一下，每组允许为空呢？

显然此时没法直接插板了，因为有可能出现很多块板子插到一个空里面的情况，非常不好计算。

我们考虑创造条件转化成有限制的问题一，先借 \(k\) 个元素过来，在这 \(n+k\) 个元素形成的 \(n+k-1\) 个空里面插板，答案为

\[\binom{n+k-1}{k-1} \]

再思考一下，若是从 \(n\) 个数字中选可重复的 \(m\) 个数的方案数，这与问题二类似

我们把 \(m\) 个元素中插入 \(n−1\) 个隔板，我们从这 \(n+m−1\) 个元素中选 \(n−1\) 个元素作为隔板,第 \(i−1\) 个隔板和第 \(i\) 个隔板之间的元素个数即为第 \(i\) 个数字所选的个数。也就是将 \(m\) 个元素分为 \(n\) 组，且可以为空。

\[\dbinom{m+n-1}{n-1} \]

组合恒等式

1

\[\dbinom{n+m-1}{n-1} \]

\(m\) 的补集与 \(m\) 的方案数是相同的。

加法公式

\[\dbinom n m=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1}\tag{2} \]

组合推理:考虑选不选第 \(n\) 个，不选的情况为 \(\dbinom{n-1}{m}\) ，选的情况为 \(\dbinom{n-1}{m-1}\)

上指标求和法则

\[\sum\limits^n_{i=0}\dbinom ik=\dbinom{n+1}{k+1}\tag{13} \]

可以利用加法公式，通过归纳法证明

\[\dbinom{5}{3} \]

\[=\dbinom{4}{2}+\dbinom{4}{3} \]

\[=\dbinom{4}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3} \]

\[=\dbinom{4}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{2}{2}+\dbinom{2}{3} \]

\[=\dbinom{4}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{2}{2}+\dbinom{1}{2}+\dbinom{1}{3} \]

\[=\dbinom{4}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{2}{2}+\dbinom{1}{2}+\dbinom{0}{2}+\dbinom{0}{3} \]

现在 \(\dbinom{0}{3}\) 为零，所以不需要再推，其实\(\dbinom{0}{2}\) \(\dbinom{1}{2}\) 也为零，但保留的话可以清晰看出一般形式。

下指标求和法： 莫队

组合推理：在 \(n+1\) 个球里拿 \(k+1\) 个为\(\dbinom{n+1}{k+1}\)，最后一个拿的是第 \(i\) 个，则情况数为 \(\dbinom ik\),累加即为所求。

平行求和法

\[\sum\limits^n_{i=0}\dbinom {m+i}i=\dbinom{n+m+1}{n}\tag{14} \]

证明：

\[\begin{aligned} \sum\limits^n_{i=0}\dbinom {m+i}i&=\sum\limits^n_{i=0}\dbinom {m+i}m\\ &=\sum\limits^{n+m}_{i=m}\dbinom {i}m+0\\ &=\sum\limits^{n+m}_{i=m}\dbinom {i}m+\sum\limits^{m-1}_{i=0}\dbinom {i}m\\ &=\sum\limits^{n+m}_{i=0}\dbinom im\\ &=\dbinom{n+m+1}{m+1}=\dbinom{n+m+1}{n} \end{aligned}\]

给道例题 BZOJ 4403序列统计