量子力学大概总结（一）
我自己为了方便随时查看和复习写了这一份量子力学总结笔记，力在写出来源和结论，推导大部分都忽略掉了，也可能有描述得不精确的地方，会在不断学习的过程中慢慢完善。
量子力学的基本假定
- 量子系统的状态由一个波函数完全描述，这个波函数可以推导出系统所有的性质。波函数满足连续性、有限性和单值性。
- 量子系统的物理量用厄米算符来表示。表示力学量的算符由组成完全系的函数。
- 波函数的统计诠释。将系统的波函数\(\psi\)用算符\(\hat{F}\)的本征函数展开（离散：\(\hat{F}\phi_n=\lambda_n\phi_n\)，连续:\(\hat{F}\phi_{\lambda}=\lambda\phi_{\lambda}\)）为\(\Psi=\sum_nc_n\phi_n+\int c_{\lambda}\phi_{\lambda}d\lambda\)，则在\(\Psi\)态中测量算符F得到的结果为\(\lambda_{n}\)的概率为\(|c_n|^2\)，得到结果在\(\lambda-\lambda+d\lambda\)的范围内的概率是\(|c_{\lambda}|^2d\lambda\)>
- 量子系统的状态波函数由薛定谔方程描述\(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi\)。
- 全同性原理：在全通粒子组成的体系中，两个全同粒子互相调换不改变体系的状态。
- 自旋：在非相对论量子力学中，电子的自旋也是作为假定引进的。但是，自旋作为一个假定是由于忽略了相对论效应的缘故。在相对论量子力学中，自旋像粒子的其他性质一样，包含在狄拉克方程中不需要做另外的假定。
波动力学
自由粒子波函数：\(\psi(\vec{r},t)=Ae^{i/\hbar(\vec{p}\vec{r}-Et)}\)
薛定谔方程
其中\(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\)是动能，\(V(\vec{r},t)\)是势能。则系统的哈密顿量为\(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r},t)\)
这是构造出来的，只是其预言与实验结果非常符合从而正确性得到验证。
态叠加原理
如果\(\psi_1\)和\(\psi_2\)是体系可能的状态，则它们的线性组合\(\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2\)也是体系可能得状态。
波函数的统计诠释
波函数的强度（波函数振幅绝对值的平方:\(|\psi(\vec{r},t)|^2\)）表示任意\(t\)时刻粒子在空间\(\vec{r}\)处的单位体积中出现的概率。
概率流守恒定律(需要完善)
在非相对论量子力学中粒子不产生也不湮灭，因此粒子出现在全空间的概率为1.\(\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(\vec{r},t)|^2d_{\vec{r}}=1\)
波函数归一化
假如有一个波函数满足：\(\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(\vec{r},t)|^2d_{\vec{r}}=A\)，其中A是常数，我们可以令\(\psi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{A}}\psi(\vec{r},t)\)。因为，1：全空间的概率密度应该为1. 2:波函数\(\psi\)乘以一个常数也依然是薛定谔方程的解。并且波函数的归一化条件不应该随时间改变，即任意时刻在全空间找到粒子的概率都应该为1，即\(\frac{d}{d_t}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(\vec{r},t)|^2d_{\vec{r}}=0\)
波函数平方可积
因为任何一波函数要能够归一化，这就意味着\(\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(\vec{r},t)|^2d_{\vec{r}}\)得是有一个有限的值。因此波函数就需要满足：\(x->\pm\infty, \psi(\vec{r},t)->0\)
定态薛定谔方程
如果薛定谔方程中的势能函数与时间无关，那么薛定谔方程就可以分离变量（分成仅含时间的部分和仅含位置的部分）
- 其中不含时部分的薛定谔方程为:\([-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})]\phi(\vec{r})=E\phi(\vec{r})\)，或者说是\(\hat{H}\phi(\vec{r})=E\phi(\vec{r})\)，写成狄拉克符号形式为\(\hat{H}\ket{\phi}=E\ket{\phi}\)，其中\(\phi(\vec{r})\)是本征函数或者说本征态，E是本征能量。、
- 含时部分的薛定谔方程为：\(i\hbar\frac{1}{U(t)}\frac{\partial U(t)}{\partial}=E\)，解为:\(U(t)=ce^{-\frac{i}{\hbar}Et}\)
并且通常来说能量本征方程的解不止一个（离散的或连续的多个本征值）。于是不含时薛定谔方程的本征解为：\(\psi_n(\vec{r},t)=\phi_n(\vec{r})e^{-\frac{1}{\hbar}E_nt}\)。不含时薛定谔方程的一般解\(\psi(\vec{r},t)=\sum_{n}c_n\psi_n(\vec{r},t)=\sum_nc_n\phi_n(\vec{r})e^{\frac{i}{\hbar}E_nt}\).
- 本征解必须是实数
- 概率密度在时间演化中保持不变
- 任意力学量在本征解所描述的态中的期望值不随时间改变。
因此将不含时薛定谔方程的空间部分称为定态薛定谔方程，解称为定态波函数，所代表的态称为定态。
定态
定态薛定谔方程的本征态也即不含时系统的能量本征态就叫做定态。
- 处于定态下的微观粒子能量E具有确定的值。
- 粒子的概率密度不随时间改变。
- 所有力学量取各种可能值的几率分布及其平均值都不随时改变
- 系统初态为：\(\ket{\psi(0)}=\ket{\phi_0}\)，也即意味着\(c_0=1,c_1=0,c_2=0,\dots\) 则\(\ket{\psi(t)}=e^{-\frac{i}{\hbar}E_0t}\ket{\phi_0}\)
束缚态与束缚态薛定谔方程的解
一个能量为E的粒子处在势能为\(V(\vec{r})\)的场中，任何一个地方的势能都比粒子的能量高，因此粒子的运动被限制在这个场内部，无法跃出去。这就叫做"束缚态"。但是在量子力学的情况下粒子出现在拐点（势场临界点）之外的概率并不为零。束缚态中薛定谔方程的解是离散的。
- 束缚态薛定谔方程的本征解：\(\Psi_n(\vec{r},t)=\psi_n(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}\)
- 束缚态薛定谔方程的一般解：\(\Psi(\vec{r},t)=\sum_n c_n\psi_n(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}\)
- 束缚态薛定谔方程的展开系数为：\(c_n=\int\psi_{n}^{*}(\vec{r})f(\vec{r})d_{\vec{r}}\)。其中\(\psi_n(\vec{r})\)是哈密顿量算符的本征函数，\(f(\vec{r})\)是初始波函数。
- 解题思路就是先求出本征方程，得到本征值\(E_n\)和本征函数\(\psi_n(\vec{r})\)，再利用\(\psi_{n}^{*}(\vec{r})\)和初始波函数\(f(\vec{r})\)求出展开系数\(c_n\)，最后将\(c_n\)，\(E_n\)和\(\psi_n(\vec{r})\)代入一般解的表达式就可以求出来。
- 能量的平均值为：\(\sum_n|c_n|^2E_n\)
散射态与散射态薛定谔方程的解
粒子能量大于束缚场的势能时，粒子可以出现在空间任意位置，并且粒子的能量不再是分立的。粒子具有连续变化的动量值和连续变化的能量值。这种运动状态称为“散射态”。最简单的散射态就是一维自由粒子。
- 散射态薛定谔方程的一般解：\(\Psi(\vec{r},t)=\int_{-\infty}^{\infty}c(\vec{r})\psi(\vec{r},t)\)
力学量的平均值
不是对同一个系统重复测量的结果的平均，是对相同系统多次测量的结果的平均。因为一旦测量波函数就会坍塌。
- 位置的平均值：\(\braket{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x|\psi(x,t)|^2d_x\)
- 速度的平均值：\(\braket{v}=\frac{d_{\braket{x}}}{d_t}=-\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial x}d_x\)
- 动量的平均值：\(\braket{p}=m\braket{v}=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial x}\)
- 力的平均值:\(\braket{F}=\frac{d_{\braket{p}}}{d_t}=\braket{-\frac{\partial V}{\partial x}}\)
- 这是束缚态的情况：离散。假定有厄米算符\(\hat{F}\)，其归一化本征函数为\(\psi_1(x),\psi_2(x),\dots,\psi_n(x),\dots\)，相应的本征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,\dots\)，满足本征方程\(\hat{F}\psi_n(x)=\lambda_n\psi_n(x)\)，则本征函数服从正交关系式\(\int\psi_{m}^{*}(x)\psi_n(x)d_{x}=\delta_{nm}\)。任意连续函数可以按本征函数系\(\{\psi_n(x)\}\)展开为\(f(x)=\sum_nc_n\psi_n(x)\)，其中展开系数为\(c_n=\int\psi_{n}^{*}(x)f(x)d_x\)。\(|c_n|^2\)表示任意态\(f(x)\)中发现本征态\(\psi_n(x)\)的概率，也即在\(f(x)\)中测量力学量\(F\)得到本征值\(\lambda_n\)的概率，而体系处于本征态\(\psi_1(x),\psi_2(x),\dots,\psi_n(x),\dots\)中的概率和为1，因此\(\sum_n|c_n|^2=1\)。最终力学量在任意态\(f(x)\)中的平均值就是\(\braket{F}=\sum_n\lambda_n|c_n|^2\)或者\(\braket{F}=\int f^{\star}\hat{F}f(x)d_x\)。如果恰好\(f(x)=\psi_n(x)\)那么\(\braket{\hat{F}}=\lambda_n\)
- 这是散射态的情况：连续。本征方程为\(\hat{F}\psi_{\lambda}(x)=\lambda\psi_{\lambda}(x)\)。本征函数服从正交关系式\(\int\psi_{\lambda^{\prime}}^{*}(x)\psi_{\lambda}(x)d_x=\delta(\lambda-\lambda^{\prime})\)，任意态在本征函数集\(\{\psi_{\lambda}(x)\}\)的展开为\(f(x)=\int c(\lambda)\psi_{\lambda}(x)d_{\lambda}\)。展开系数为\(c(\lambda)=\int\psi_{\lambda}^{*}(x)f(x)d_x\)，并且概率和为1依然成立\(\int|c(\lambda)|^2d_{\lambda}=1\)，力学量F在\(f(x)\)态中的平均值为\(\braket{F}=\int\lambda|c(\lambda)|^2\)以及\(\braket{\hat{F}}=\int f^{\star}(x)\hat{F}f(x)d_x\)
艾伦费斯特定理
描述的是力学量的平均值随时间的演化。表达式为：
位力定理
描述当体系处于定态下与动能相关的平均值。
- 对于\(V(x,y,z)\)是x,y,z的n次齐次函数的势场有\(2\braket{T}=n\braket{V}\)
赫尔曼-费曼定理
力学量的算符表示
如果量子力学体系中的某个力学量用算符\(\hat{F}\)表示，那么当这个体系处于\(\hat{F}\)的本征态时，这个力学量具有确定的值，即本征方程\(\hat{F}\psi=\lambda\psi\)的本征值。其实可以说某态就是某波函数。
- 厄米算符：本征值是实数，并且\(F^{\star}=F\)。表示力学量的所有算符都是厄米函数。
- 算符的厄米共轭：如果一个算符的厄米共轭和它本身相等，那么这个算符就是厄米共轭，具体为\(F^{\dagger}\)。
- 厄米算符本征函数具备正交性：厄米算符中属于不同本征值的两个本征函数相互正交。即\(\int\phi_{k}^{\star}\psi_ld\tau=0\)
- 厄米算符本征函数具备完备性：假设厄米算符的\(\hat{F}\)的正交归一本征函数是\(\phi_n(x)\)，对应的本征值是\(\lambda_n\)，则任意函数\(\psi_n(x)\)可以按\(\phi_n(x)\)展开为\(\psi(x)=\sum_{n}c_n\phi_n(x)\)
- 如果两个算符\(\hat{F}\)和\(\hat{G}\)有一组共同的本征函数\(\phi_n\)，而且\(\phi_n\)组成完全系，则算符\(\hat{F}\)和\(\hat{G}\)对易。
力学量算符的本征函数和本征值
- 能量本征函数和本征值
- 势能改变一个常量时，粒子的能量本证波函数不改变，能量本征值改变同样数值。
- 粒子的能量是势能平均值和动能平均值之和
- 粒子能量本征值的最小值要大于粒子势能的最小值
- 位置的本征方程和本征值
- 位置算符在坐标表象下的本征方程为\(\hat{x}\delta(x-x^{\prime})=x^{\prime}\delta(x-x^{\prime})\)
- 位置算符在动量表象下的本征方程为\(i\hbar\frac{\partial}{\partial p_x}\phi_{x^{\prime}}(p_x)=x^{\prime}\phi_{x^{\prime}}(p_x)\)，其中\(\phi_{x^{\prime}}(p_x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ip_x x^{\prime}}\)
- 动量算符的本征函数和本征值
- 动量算符在坐标表象下的本征方程为\(-i\hbar\nabla\psi_p(\hat{r})=p^{\prime}\psi_p(\hat{r})\)。其中\(\psi_p(\hat{r})=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{\frac{3}{2}}}e^{\frac{i}{\hbar}\hat{p}\hat{r}}\)
- 动量算符在动量表象下的本征方程为\(p_x\delta(p_x-p_{x}^{\prime})=p_{x}^{\prime}\delta(p_x-p_{x}^{\prime})\)
算符的对易关系
如果\([\hat{A},\hat{B}]=0\)就说算符\(\hat{A}\)和算符\(\hat{B}\)对易。
- 算符对易的物理意义
- 如果两个算符A和B有一组共同的本征矢\(\ket{n}\)，且它们构成完备集\(\{\ket{n}\}\)，则算符A和B对易。
- 如果两个算符A和B对易，则它们有共同的本征矢。力学量A和B同时具有确定值\(\braket{n|\hat{A}|n}=a_n\)和\(\braket{n|\hat{B}|n}\)，即力学量A和B可以被同时测定。
- 举个例子感受一下：类氢离子的本征函数\(\psi_{nlm}\)是哈密顿算符\(\hat{H}\)，角动量平方算符\(\hat{L^{2}}\)和角动量z分量算符\(\hat{L_z}\)，这样在状态\(\psi_{nlm}\)中相应的力学量同时具有确定值\(E_n,l(l+1)\hbar^2,m\hbar\)。这个{\(\hat{H},\hat{L^2},\hat{L_z}\)}也通常被称为力学量完备集。
不确定性原理
因为两个算符不对易才会有不确定原理。假设两个算符之间的对易关系为\(AB-BA=iC\)，这里\(C\)是常数或者算符。算符A在一个量子态\(\ket{\psi}\)中的期待值为\(\braket{A}=\braket{\psi|A|\psi}\)，算符B在一个量子态\(\ket{\psi}\)中的期待值为\(\braket{B}=\braket{\psi|B|\psi}\)，引入算符A的偏差\(\Delta A=\sqrt{\braket{A^2}-\braket{A}^2}\)，算符B的偏差\(\Delta B=\sqrt{\braket{B^2}-\braket{B}^2}\)，则
- 坐标和动量的不确定关系\(\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
- 角动量分量的不确定关系\(\Delta L_x \Delta L_y \geq \frac{\hbar}{2}\braket{L_z}\)，\(\Delta L_y \Delta L_z \geq \frac{\hbar}{2}\braket{L_x}\)，\(\Delta L_z \Delta L_x \geq \frac{\hbar}{2}\braket{L_y}\)。这也意味着如果角动量的一个分量具有确定值，其他两个分量都没有确定值，因此一个微观粒子没有确定的角动量只有一个确定的分量，\(l_Z\)也可以直接被称为角动量，不必称为角动量Z分量，因为如果有了确定的\(L_z\)就谈不上\(L_x,L_y\)了。
- 能量时间不确定性关系\(\Delta E \Delta t\geq \frac{\hbar}{2}\)
守恒量
与时间无关的力学量A与体系的哈密顿两H对易，即\([A,H]=0\),称A为守恒量。
- 守恒量A的平均值\(\braket{A}\)不随时间改变\(\frac{d\braket{A}}{dt}=0\)
- 在任意态\(\psi(t)\)下守恒量A的测量值的概率分布不随时间改变。如果A的本征态为\(\phi_k\)则意味着\(\frac{d|a_k(t)|^2}{dt}=0\)
- 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，\([F,H]=0\)，\([G,H]=0\)，但是\([F,G]\neq0\)，则体系能级一般是简并的。如果[F,G]=常数，则体系的所有能级都简并，并且简并都为无穷大。
- 如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级E不简并，即对应于该能量本征值E只有一个本征态\(\psi_E\)，则\(\psi_E\)必定为F的本征态。
- 能量守恒：设体系H不显含t，则[H,H]=0。所以H为守恒量。
- 动量守恒：对于自由粒子来说\(H=\frac{p^2}{2m}\)，因此[p,H]=0，所以\(\hat{p}\)为守恒量。
- 角动量守恒：对于自由粒子来说\([\hat{l},H]=0\)，所以\(\hat{l}\)也是守恒量。
- 中心力场中的粒子：\(H=\frac{p^2}{2m}+V(\hat{r})\)，\([\hat{l},H]=0\)，所以\(\hat{l}\)为守恒量。但是\(\hat{p}\)不是。
讨论
- 为什么反复提及平均值：因为在微观世界我们在实验中测得的数据都是平均值
- 定态与守恒量有什么关系和区别：
- 定态也就是能量本征态。
- 在定态下，力学量的平均值和测量值的概率分布不随时间改变
- 守恒量是指与体系的哈密顿量对易的力学量
- 守恒量在一切的状态下平均值和测量值的概率分布都不随时间改变。
