插入排序知识点汇总：原理、特性与实践

一、基本原理

概念
- 插入排序的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。可以类比为人们整理手中的扑克牌，每次拿到一张新牌，就将它插入到已经排好序的牌中的合适位置。
算法步骤
- 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序。
- 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描。
- 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置。
- 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。
- 将新元素插入到该位置后。
- 重复步骤2 - 5，直到所有元素都插入到有序序列中。

二、时间复杂度

最好情况
- 当待排序的序列本身就是有序的时候，插入排序的时间复杂度为 $O (n)$ 。这是因为在这种情况下，每次插入新元素时，只需要比较一次就可以确定它的位置，总共需要比较 $n - 1$ 次（假设序列有 $n$ 个元素）。例如，序列[1, 2, 3, 4, 5]，在插入排序过程中，每个元素都只需要比较一次就可以确定其正确位置。
最坏情况
- 当待排序的序列是逆序的时候，时间复杂度为 $O (n^{2})$ 。例如，对于序列[5, 4, 3, 2, 1]，第一个元素插入时不需要比较，第二个元素插入时需要比较1次，第三个元素插入时需要比较2次，以此类推，总的比较次数为 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2}$ ，所以时间复杂度为 $O (n^{2})$ 。
平均情况
- 平均时间复杂度也是 $O (n^{2})$ 。在平均情况下，插入一个元素需要比较和移动大约 $n / 2$ 次，对于 $n$ 个元素，总共需要大约 $n^{2} / 4$ 次操作，所以时间复杂度为 $O (n^{2})$ 。

三、空间复杂度

插入排序是一种原地排序算法，它只需要 $O (1)$ 的额外空间。这是因为在排序过程中，它只需要有限的几个变量来辅助完成排序，如用于比较和交换元素的临时变量，不需要额外的大量存储空间来复制或存储数据。

四、稳定性

插入排序是稳定的排序算法。所谓稳定性，是指如果在排序前两个元素相等，那么在排序后它们的相对位置不变。例如，有一个序列[(3, a), (3, b)]，其中括号内第一个元素是数值，第二个元素是标记。在插入排序过程中，当比较到两个3时，因为插入排序是从后向前扫描已排序序列，会将新元素插入到合适位置，不会改变两个3的相对顺序，所以插入排序是稳定的。

五、代码实现（以Python为例）

def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        current_value = arr[i]
        position = i
        while position > 0 and arr[position - 1] > current_value:
            arr[position] = arr[position - 1]
            position -= 1
        arr[position] = current_value
    return arr

在上述代码中，for循环从第二个元素（索引为1）开始遍历数组arr。current_value存储当前要插入的元素，position记录当前元素应该插入的位置。while循环用于在已排序的部分中找到合适的插入位置，将比current_value大的元素向后移动，最后将current_value插入到合适的位置。

六、适用场景