数据结构导论(第二章线性表）

一、线性表的基本概念

线性表的逻辑结构线性表是一种最简单、最常见的数据结构

线性表是由n（n≥0）个数据元素（结点）a1，a2，a3，……an组成的有限序列。数据元素的个数n定义为表的长度。当n=0时，称为空表

将非空的线性表（n＞0）记作：L=（a1，a2，a3，……，an） a1：起始结点，an：终端结点。 a1称为a2的直接前驱，a3称为a2的直接后继

线性表的特点：

线性表中只有1个起始结点，1个终端结点，起始结点没有直接前驱，有1个直接后继。
终端结点有1个直接前驱，没有直接后继。
除这2个结点外，每个结点都有且只有1个直接前驱和1个直接后继

二、线性表的顺序存储

线性表顺序存储的方法：将表中的结点依次存放在计算机内存中的一组连续存储单元中。

数据元素在线性表中的邻接关系决定其在存储空间中的存储位置；即逻辑结构中相邻的结点，其存储位置也相邻。

用顺序存储实现的线性表称为顺序表。

顺序表上的基本运算： 插入（Insert）、删除（Delete）、定位（Locate）

=======================插入=========================

线性表的插入运算：是指在表的位置i上，插入一个新结点x，使长度为n的线性表（a1，a2，……，ai，……，an）变为长度为n+1的线性表（a1，……，x，……，an）

插入时的主义事项：

当表空间已满，不可再做插入操作。
当插入位置是非法位置，不可做正常的插入操作。

顺序表插入操作过程

将表中位置为n ，n-1，…，i上的结点，依次后移到位置n+1，n，…，i+1 上，空出位置i。
在位置i上插入新结点x。（当插入位置i=n+1时，无须移动结点，直接将x插入表的末尾）
该顺序表长度加1

插入算法的分析：

假设线性表中含有n个数据元素，在进行插入操作时，有n+1个位置可插入，每个位置插入数据的概率是：1/(n+1); 在位置i插入时，要移动n-i+1个数据。
假定在n+1个位置上插入元素的可能性均等，则平均移动元素的个数为：

需要移动：10-4+1=7 ；7个节点

======================删除=====================

线性表的删除运算：是指将表的位置i的结点删去，使长度为n的线性表（a1，a2，……，ai，……，an）变成长度为n-1的线性表（a1，a2，……，ai-1，ai+1，……，an）

注意事项：当要删除元素的位置i不在表长范围内时，为非法位置，不能做正常的删除操作

顺序表删除操作过程

若i=n，则只要删除终端结点，无须移动结点；
若1≤i≤n-1，则必须将表中位置 i+1，i+2，……，n的结点，依次前移到位置i，i+1，…，n-1上，以填补删除操作造成的空缺。（仅当删除位置i=n时，才无须移动结点，直接令表长度-1即可）
该表长度减1

假设线性表中含有n个数据元素，在进行删除操作时，有n个位置可删除，在位置i删除时，要移动n-i个数据。

结论：顺序存储结构表示的线性表，在做插入或删除操作时，平均需要移动大约一半的数据元素。当线性表的数据元素量较大，并且经常要对其做插入或删除操作时，这一点需要考虑

===================定位=====================

定位:从第一个元素a1起，依次和x比较，直到找到一个与x相等的数据元素，则返回它在顺序表中的存储下标或序号；当查遍整个表都没找到与x相等的元素，返回0。

定位算法的分析:

定位运算的功能是查找出线性表L中值等于x的结点序号的最小值，当不存在这种结点时，结果为0。

i从0开始，作为扫描顺序表时的下标：

最好情况下，第1个元素就是x值，此时查找比较次数为1。
最坏情况下，最后1个元素是x值，此时查找比较次数为n。
故平均查找长度为（n+1）/2。

顺序表的特点：

设线性表中所有结点的类型相同，则每个结点所占用存储空间大小亦相同。
假设表中每个结点占用L个存储单元，其中第一个单元的存储地址则是该结点的存储地址。
并设表中开始结点a1的存储地址是d，那么结点ai的存储地址LOC（ai）

顺序表的优点：

无需为表示结点间的逻辑关系而增加额外存储空间
可以方便地随机存取表中的任一结点

顺序表的缺点：

• 插入和删除运算不方便，必须移动大量的结点
• 顺序表要求占用连续的空间，存储分配只能预先进行，因此当表长变化较大时，难以确定合适的存储规模

三、线性表的链式存储

结点结构：

链表的具体存储表示为：

用一组任意的存储单元来存放。
链表中结点的逻辑次序和物理次序不一定相同，还必须存储指示其后继结点的地址信息

=================单链表===================

单链表：所有结点通过指针链接而组成。
NULL：空指针。
Head：头指针。
尾指针：指向最后一个元素（尾结点）的指针。

单链表的一般图示法：由于我们常常只注重结点间的逻辑顺序，不关心每个结点的实际位置，可以用箭头来表示链域中的指针

单链表各个结点在内存中的存储位置（物理位置）并不一定连续

头结点：一般不存数据，利用Head存放该结点地址。在单链表中，增加头结点的目的是方便运算

单链表特点总结：

链表由头指针唯一确定，单链表可以用头指针的名字来命名。头指针名是head3的链表可称为表head3。
起始节点又称为首结点，无直接前驱，故在无头结点时，设头指针head指向首结点。
终端结点又称尾结点，无直接后继，故终端结点的指针域为空，即NULL。
除头结点之外的结点为表结点，为运算操作方便，头结点中不存数据。

单链表的实现：

1、初始化

建立一个空的单链表L，InitiateLinkList（L）一个空的单链表是一个头指针和一个头结点构成的
假设已定义指针变量t，令t指向一个头结点并令头结点的next为NULL
注意：产生头结点时由malloc函数产生一个新节点；动态分配内存函数malloc函数格式:（数据类型*）malloc（sizeof（数据类型））如：int *p;p=（int *）malloc（sizeof（int））

空表由一个头指针和一个头结点组成。算法描述如下：
LinkList InitiateLinkList( )
//建立一个空的单链表
{
LinkList head; //头指针
head=malloc (sizeof (Node) ) ; //动态构建一结点，它是头结点
head->next=NULL;
return head;
}
在算法中，变量head是链表的头指针，它指向新创建的结点，即头结点。一个空单链表仅有一个头结点，它的指针域为NULL。

2、求表长

在单链表存储结构中，线性表的长度等于单链表所含结点的个数（不含头结点）

步骤：

1，令计数器j为0
2，令p指向头结点
3，当下一个结点不空时，j加1，p指向下一个结点
4，j的值即为链表中结点个数，即表长度

int lengthLinklist (LinkList head){ 
    Node *p;
    p=head; j=0;
    while( p->next != NULL )
    { p=p->next;
    j++;
    }
    return(j);
}

3、读表元素步骤：查找第i个结点

1、令计数器j为0
2、令p指向头结点
3、当下一个结点不空时，并且j<i时，j加1，p指向下一个结点
4、如果j等于i，则p所指结点为要找的第i结点否则，链表中无第i结点

Node * GetlinkList( LinkList head, int i ){ 
    Node *p;
    p=head->next; int c=1;
    while ((c<i) && (p!=NULL) ){ p=p->next;
        c++;
    }
    if(i= =c) return(p);
    else return NULL;
}

4、删除节点

算法思路（此算法描述删除第i个结点）

① 找到第i-1个结点；若存在继续，否则结束；

② 删除第i个结点，并释放对应的内存，结束

删除运算是将表的第i个结点删去。

（1）找到ai-1的存储位置p

（2）令p-＞next指向ai的直接后继结点

（3）释放结点ai的空间，将其归还给"存储池" 。

算法的实现

在单链表中删除第 i 个结点的基本操作为:找到线性表中第i-1个结点，修改其指向后继的指针。

void DeleteLinklist(LinkList head, int i)
    //删除表head的第i个结点
    {
    Node *q;
    if(i==1) q=head;
    else q=GetLinklist(head, i-1); //先找待删结点的直接前驱
    if(q !== NULL && q->next != NULL) //若直接前驱存在且待删结点存在
    {
        p=q->next; //p指向待删结点
        q->next=p->next; //移出待删结点
        free(p); //释放已移出结点p的空间
    }
    else exit (“找不到要删除的结点”); //结点不存在
}

注意：free(p)是必不可少的，因为当一个结点从链表移出后，如果不释放它的空间，它将变成一个无用的结点，它会一直占用着系统内存空间，其他程序将无法使用这块空间

5. 定位

定位运算是对给定表元素的值，找出这个元素的位置。对于单链表，给定一个结点的值，找出这个结点是单链表的第几个结点。定位运算又称为按值查找

具体步骤：

1、令p指向头结点
2、令i=0
3、当下一个结点不空时，p指向下一个结点,同时i的值加1
4、直到p指向的结点的值为x，返回i+1的值。
5、如果找不到结点值为x的话，返回值为0

int LocateLinklist(LinkList head, DataType x)
    //求表head中第一个值等于x的结点的序号，若不存在这种结点，返回结果为0
    {
    Node *p=head; //p是工作指针
    p=p->next; //初始时p指向首结点
    int i=0; //i代表结点的序号，这里置初值为
    while (p != NULL && p->data != x) //访问链表
    {
    i++;
    p=p->next;
    }
    if (p!=NULL) return i+1;
    else return 0;
}

6、插入

插入运算是将值为x的新结点插入到表的第i个结点的位置上，即插入到ai-1与ai之间。

具体步骤：

（1）找到ai-1存储位置p
（2）生成一个数据域为x的新结点*s
（3）令结点*p的指针域指向新结点
（4）新结点的指针域指向结点ai

void InsertLinklist (LinkList head, DataType x, int i)
    //在表head的第i个数据元素结点之前插入一个以x为值的新结点
    {
    Node *p,*q;
    if (i==1) q=head;
    else q=GetLinklist (head, i-1); //找第 i-1个数据元素结点
    if (q==NULL) //第i-1个结点不存在
    exit(“找不到插入的位置”);
    else
    {
        p=malloc(sizeof (Node) );p->data=x; //生成新结点
        p->next=q->next; //新结点链域指向*q的后继结点
        q->next=p; //修改*q的链域
    }
}

注意：链接操作p->next=q->next和q->next=p两条语句的执行顺序不能颠倒，否则结点 *q的链域值（即指向原表第i个结点的指针）将丢失。

7、清除单链表中值为x的重复结点

步骤：

1）找到值为x的第一个结点位置，p指向该结点
2）从p所指结点开始向后查找，若存在值为x的结点，令q指向x结点前一个执行删除操作继续查找直到链表末尾

void PurgeLinklist(LinkList head)
    //删除表head中多余的重复结点
    {
        Node *p,*q,*r;
        q=head->next; //q指示当前检查结点的位置，置其初值指向首结点
        while(q!=NULL) //当前检查结点*q不是尾结点时，寻找并删除它的重复结点
    {
        p=q; //工作指针p指向*q
        while(p->next!=NULL) //当*p的后继结点存在时,将其数据域与*q数据域比较
        { if (p->next->data==q->data) //若*(p->next)是*q的重复结点
            {
                r=p->next; //r指向待删结点
                p->next = r->next; //移出结点* (p->next)，p->next指向原来* (p->next)的后继结点
                free (r);
            }
            else p=p->next; //否则，让p指向下一个结点
        }
            q=q->next; //更新检查结点
    }
}

四、顺序表的算法

线性表的基本运算

1，初始化 Initiate(L) 建立一个空表L=()，L不含数据元素。

2，求表长度 Length(L) 返回线性表L的长度。

3、取表元 Get(L,i) 返回线性表第i个数据元素，当i不满足 1≤i≤Length(L)时，返回一特殊值

4、定位 Locate(L,x) 查找线性表中数据元素值等于x的结点序号，若有多个数据元素值与x相等，运算结果为这些结点中序号的最小值，若找不到该结点，则运算结果为0

5、插入 Insert(L,x,i) 在线性表L的第i个数据元素之前插入一个值为x的新数据元素，参数i的合法取值范围是1≤i≤n+1。操作结束后线性表L由（a1，a2，…，ai-1， ai，ai+1，.…，an )变为(a1，a2， …，ai-1，x， ai，ai+1，.…，an )，表长度加 1。

6、删除 Delete(L,i) 删除线性表L的第i个数据元素ai，i的有效取值范围是1≤i≤n。删除后线性表L由(a1，a2，…，ai-1， ai，ai+1，.…，an )变为 (a1，a2，…，ai-1，ai+1，.…，an )，表长度减1