行列式

一.行列式的定义

行列式的引入
假如我们要求解这个方程组: \(\begin{cases} 5x+6y=7\\ 9x+4y=3 \end{cases}\) ，我们很自然能够想到将第一个式子乘上 9 ，将第二个式子乘上 5 ，此时我们要解的方程组就变成了: \(\begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\\ 9×5x+4×5y=3×5 \end{cases}\) ，此时只要将两式相减就能消去 \(x\) ,从而解出 \(y\) ，即 \(y=\frac{7×9-3×5}{6×9-4×5}\) ，同理我们也可以求出了\(x=\frac{7×4-3×6}{5×4-9×6}\)
我们可以发现，我们求解出的答案都是 \(\frac{ab-cd}{ef-gh}\) 的形式，为了简化计算，我们定义一种新运算：
记 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\) ,则我们把这种运算定义为二阶行列式
行列式的本质定义（第一种定义）
对于一个二阶行列式 \(D_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\) ,其中 \(a_{ij}\) 的第一个下标 \(i\) 表示该元素所在的行数，第二个下标 \(j\) 表示该元素所在的列数，且 \(D_2= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) ,这种运算有什么意义呢？
考虑将该行列式的第一行的两个元素 \(a_{11},a_{12}\) 看成一个二维向量 \([a_{11},a_{12}]\) ，记该向量为 \(\alpha_1\) ,将第二行的两个元素 \(a_{21},a_{22}\) 看成另一个二维向量 \([a_{21},a_{22}]\) ，记该向量为 \(\alpha_2\)，将两个向量标在直角坐标系中，并以这两个向量为邻边做出一个平行四边形，则我们可以发现平行四边形的面积恰好等于 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) ,因为是高中知识，在这里我们就不做过多证明，请读者私下自己完成证明。
从而我们能够得到一个有趣的结论：二阶行列式是由两个二维向量组成，其运算结果为以这两个二维向量为邻边的平行四边形的面积
将该结论推广到三阶行列式，我们也不难推出：三阶行列式是由三个三维向量 \(\alpha_1=[a_{11},a_{12},a_{13}]\) ，\(\alpha_2=[a_{21},a_{22},a_{23}]\) ，\(\alpha_3=[a_{31},a_{32},a_{33}]\) 组成的，其运算的结果为这三个向量为邻边的平行六面体的体积
依次类推，我们就能得到 \(n\) 阶行列式 \(D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\) 的的本质定义: \(n(n\ge3)\) 阶行列式是由 \(n\) 个 \(n\) 维向量组成的，其运算的结果为这 \(n\) 个向量为邻边的 \(n\) 维图形的体积

行列式的逆序数法定义（第二种定义）

排列：由 \(n\) 个数 \(1,2…n\) 组成的一个有序数组称为一个 \(n\) 级排列，如\(13245\) 是一个5级排列， \(53214\) 也是一个5级排列， \(n\) 级排列一共有 \(n!\) 个
逆序：在一个 \(n\) 级排列 \(i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n\) 中，若 \(i_s>i_t\) ,且 \(s<t\) ,则称这两个数构成一个逆序
逆序数：一个排列中逆序的总数称为逆序数，记作 \(\tau(i_1i_2\cdots i_n)\) 如 \(\tau(231546)=3\) 从小到大的排列称为自然排序，如 \(123456\) ,显然，自然排序的逆序数为0.
奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时，该排列为奇排列，逆序数为偶数时，该排列为偶排列
小结论：交换排列中的两个数，排列的奇偶性改变
推论1：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变，经过偶数次对换其奇偶性不变
推论2：当 \(n\ge2\) 时，在 \(n\) 级排列中，奇偶排列数目相等，各有 \(\frac{n!}2\) 个

从而我们可以用逆序数定义 \(n\) 阶行列式：\(\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{r{({j_1j_2\cdots j_n})}}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\) ,这里的 \(\sum_{j_1j_2\cdots j_n}\) 表示对所有 \(n\) 个列下标排列求和，故为 \(n!\) 项之和

二.行列式的性质

一些概念：
主对角线：在行列式中，由左上角到右下角 （ \ ） 所形成的斜线称为主对角线
副对角线：在行列式中，由右上角到左下角 （ / ） 所形成的斜线称为副对角线
上三角形行列式：在主对角线下方的元素全为0
下三角形行列式：在主对角线上方的元素全为0
三角形行列式：上三角形行列式和下三角形行列式统称三角形行列式
对角行列式：除主对角线之外的元素全为零

重要性质：三角形行列式和对角行列式的值等于主对角线中元素的乘积

以下性质均可由行列式的本质定义从几何角度直观得到，读者也可以自行尝试代数证明，这里不做过多赘述

性质一：行列互换值不变，即 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A^T\end{vmatrix}\)

性质二：行列式中两行（列）互换，行列式的值变号
推论：两行（列）相等，该行列式的值为 0

性质三：若行列式中某行（列）元素有公因子 \(k(k\ne0)\) ，则 \(k\) 可提到行列式外面，即:
\(\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&\cdots&ka_{ij}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)

性质四：两行（列）元素对应成比例，行列式的值为0
推论：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质五：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即：
\(\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&\cdots&a_{ij}+b_{ij}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\b_{i1}&\cdots&b_{ij}&\cdots&b_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)

性质六：行列式中某行（列） 的K倍加到另一行（列），行列式不变

三.行列式按行（列）展开

余子式：在 \(n\) 阶行列式中，去掉元素 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行，第 \(j\) 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 \(n-1\) 阶行列式称为元素 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)

代数余子式：余子式 \(M_{ij}\) 乘 \((-1)^{i+j}\) 后称为 \(a_{ij}\) 的代数余子式，记作 \(A_{ij}\) ，即 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

行列式按某一行（列）展开的展开公式
行列式等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\left \{ \begin{array}{c} a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} (i=1,2,\cdots,n)\\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij} (j=1,2,\cdots,n)\\ \end{array} \right . \)

行列式按某一行（列）展开能够帮助我们将一个高阶的行列式进行降阶，从而方便我们的计算，此外，我们在展开的时候应尽量选择含有 “0” 元素较多的那一行（列）

异乘变零定理：行列式的某行（列）元素分别乘另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为零，即

\(a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0,i\ne k\)

\(a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk}=0,j\ne k\)

\(k\) 阶子式：在 \(n\) 阶行列式中取定 \(k\) 行，再取定 \(k\) 列，同时位于取定的行和列上的元素按按原来的位置与顺序组成的 \(k\) 阶行列式称为 \(k\) 阶子式

\(k\) 阶子式的余子式：在 \(n\) 阶行列式中选取定 \(k\) 行，再取定 \(k\) 列，去掉取定的行和列，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 \(k\) 阶行列式称为 \(k\) 阶子式

\(k\) 阶子式的代数余子式： \(k\)阶子式的余子式乘 \((-1)^x\) 后称为 \(k\) 阶子式的代数余子式， \(x\) 为所取定的行号之和加上所取定的列号之和

拉普拉斯展开定理:在 \(n\) 阶行列式中，任意取定 \(k\) 行，由 \(k\) 行元素组成的所有 \(k\) 阶子式与代数余子式乘积之和等于行列式

两个特殊的拉普拉斯展开式：设 \(A\) 为 \(m\) 阶矩阵，\(B\) 为 \(n\) 阶矩阵，则 \(\begin{vmatrix}A &O\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A &C\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A &O\\C&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}O &A\\B&O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C &A\\B&O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}O &A\\B&C\end{vmatrix}=(-1)^{mn}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}\)

四.行列式的计算

1.对角线法

以三阶行列式为例: \(D_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)

①将第一、二列平移到行列式右侧
②如图做出六条斜对角线
③对角线上的元素相乘，与主对角线平行的对角线相加的和减去不与主对角线平行的对角线相加的和
所以 \(D_3=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)

对于阶数较低的行列式这种方法比较常用

2.代数余子式法

将 \(n\) 阶行列式展开为 \(n-1\)阶行列式从而简化计算

3.等价转化法

利用行列式的性质六，将行列式转化为上三角行列式从而方便计算。注意，使用性质六时应逐行（列）进行处理

加边法：\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\1&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\1&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\) ，再把三叉型行列式转化为上三角行列式处理

范德蒙行列式：\(\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\{x_1}^2&{x_2}^2&\cdots&{x_n}^2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\{x_1}^{n-1}&{x_2}^{n-1}&\cdots&{x_n}^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\le j\lt i\le n}{(x_i-x_j)}\)

反对称行列式：满足 \(a_{ij}=-a_{ji}\) 的行列式
特点：
①主对角线全为 \(0\)
②上下位置对应成相反数
性质：奇数阶反对称行列式的值为 \(0\) (利用行列式的性质一证明)

对称行列式：满足 \(a_{ij}=a_{ji}\) 的行列式
特点：
①主对角线无要求
②上下位置对应成相等

五.Cramer法则

若 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知量构成的非齐次线性方程组\(\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{array} \right . \) 的系数行列式 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\ne 0\) ，则方程组有唯一解，且 \(x_i=\frac{\begin{vmatrix}A_i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}},i=1,2,\cdots,n\) ，其中 \(\begin{vmatrix}A_i\end{vmatrix}\) 是 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\) 中第 \(i\) 列元素（即 \(x_i\) 的系数）替换成方程组右端的常数项 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 所构成的行列式
推论：若 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知量构成的齐次线性方程组\(\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\\ \end{array} \right .\) 的系数行列式 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\ne 0\) 的充要条件是方程组有唯一零解
反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式\(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0\)

关于行列式的相关知识大概就是这些了，如果还有遗漏希望告知我，我日后一定补上