数论四大定理

数论四大定理：包括威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理（中国剩余定理）、费马小定理

同余

同余：对于任意整数a，b，对指定的整数m(m>1)进行整除，若余数相同，则称a和b模m同余，记作\(a\equiv b(mod \quad m)\)

• 例如：\(3\equiv 10(mod \quad 7)\)
• 通过整数m对任意整数进行分类，同余（模m）为一类，即剩余类
• 相等就是模无穷大的同余，\(a\equiv b(mod \quad \infty )\)

费马小定理

费马小定理：任意整数a，质数p，若\(gcd(a,p)=1\)（a和p的最大公因数为1，即a和p互质），则\(a^{p-1}\equiv 1(mod \quad p)\)

欧拉给出的证明

先考虑两个集合，其元素个数为p-1，\(A=\{1,2,3,…,p-1 \}\)，\(B=aA=\{a,2a,3a,…,a(p-1) \}\)

显然，集合A恰好遍历了p的所有非0余数，抽屉原理可知，B亦是如此

将集合A和B中的元素进行累乘，即

\((p-1)!\equiv a^{p-1} (p-1)!(mod \quad p)\)

插入介绍同余的除法

如果\(a=a_1d,b=b_1d,gcd(d,m)=1\)，且有\(a\equiv b(mod \quad m)\)，那么\(a_1\equiv b_1(mod \quad m)\)

回到证明上，显然有，\(gcd((p-1)!,p)=1\)

\(a^{p-1} \equiv 1(mod \quad p)\)，证毕

欧拉定理

对费马小定理进行扩展，将质数p替换成m，并引入欧拉函数\(\varphi (m)\):1,2,……,m中与m互质的数的个数

\(\varphi (m)\)的数学表达：

先对m进行质因数分解，\(m=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}…p_k^{\alpha _k}\)，则

\(\varphi(m)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})…(1-\frac{1}{p_k})\)

例如m=6，则\(\varphi(6)=6(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=2\)，1-6中与6互质的数为和5，即成立

例如m为质数p，则p没有质因子，所以\(\varphi(p)=p(1-\frac{1}{p})=p-1\)，此时欧拉定理正好是费马小定理

欧拉定理：整数\(m> 1\)，\(gcd(a,m)=1\)，则\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod \quad m)\)

欧拉定理证明

取集合过程与费马小定理证明中的相同

简化剩余系即是上述的集合，对于质数p就是剩余系

集合\(C=\{x_1,x_2,…,x_{\varphi(m)} \}\)，模m的结果与m互质个数即\(\varphi(m)\)，集合C中的元素个数为\(\varphi(m)\)
集合\(D=aC=\{ax_1,ax_2,…,ax_{\varphi(m)} \}\)

\(a^{\varphi(m)}(x_1x_2…x_{\varphi(m)})\equiv (x_1x_2…x_{\varphi(m)})(mod \quad m)\)

集合C和D中的元素互质，放心除，\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod \quad m)\)

证毕

欧拉定理的应用——RSA体系

RSA公开密钥，需要四个数字

• 质数p，q，这两个数字足够大
• 密钥e
• 解钥d

流程

• 计算\(N=pq\)，N的欧拉函数\(\varphi(N)=(p-1)(q-1)\)
• 密钥和解钥\(ed\equiv 1(mod \quad \varphi (N))\)
• 公开数字N和e，d为解钥使用（d保密）
• 原文的数字代码为a，使用欧拉定理进行映射，a映射到b，\(b\equiv a^e(mod \quad N)\)，a就加密成b
• 将密文b发送出去，如果收到信息的人同时具有解钥d，那么\(b^d \equiv a^{ed} \equiv a^{1+k\varphi (N)})\equiv a\cdot (a^{\varphi (N)})^k\equiv a(mod \quad N))\)，还原原文a
• 当前的RSA更加复杂

中国剩余定理

中国剩余定理又叫孙子定理

秦九韶1208-1268，同余方程组

对于同余方程组

使用中国剩余定理解法

威尔逊定理

威尔逊提出，拉格朗日证明，然而一世纪前，莱布尼茨就已经证明了，但没发表

威尔逊定理：如果p是质数，那么\((p-1)!\equiv -1(mod \quad p)\)

• 上述是一个充要条件，条件与结论等价
• \(p=2,1!\equiv -1(mod \quad 2)\)
• \(p=3,2!\equiv -1(mod \quad 3)\)
• \(p=5,4!\equiv -1(mod \quad 5)\)

质数通项公式

• 一堆阶乘和累加，还有取整，对于数论而言，不够简洁，花里胡哨