P-进数

简介

将上一行的匹配的数字进行平方，使得匹配的数字位数增加，最终会收敛（不是通常意义的收敛），该数字的平方等于自身，即\(n^2=n\)

十进数

小数点左边无限位数的数字的含义，即讨论无限长位数整数的尾部数字

例如，十进制内十进数（N进制的数与N进数是两个概念，N进数是N进制下的一类数）
\(…285714\dot{2} 8571\dot43 \times 7=…\dot{0} 1\)，故\(…\dot{2} 8571\dot43=\frac{1}{7}\)
\(…\dot{6}7 \times 3=…\dot{0} 1\)，故\(…\dot{6}7 =\frac{1}{3}\)

将无限长的循环整数映射到正分数，如何映射到负分数，每位取补数后+1即可
首先根据\(0.\dot{9} =1\)的还原原理，\(…\dot{9}9 \times 10=…\dot{9}0\)，相减得到\(…\dot{9}9 \times 9=-1\)，所以\(…\dot{9}9 =-1\)，满足\(…\dot{9}9 +…\dot{0}1=0\)

取补数+1
\((…714285\dot{7} 1428\dot{5}6+1) \times 7=…\dot{9} 9=-1\)，故\(…\dot{7} 1428\dot{5}7=-\frac{1}{7}\)
\((…\dot{3}2+1) \times 3=…\dot{9}9=-1\)，故\(…\dot{3}3 =-\frac{1}{3}\)

将十进制的无限整数长度的数称为十进数，存在一个十进数\(n\)使得\(n^2\)=n

使用因式分解求解\(n(n-1)=0\)只能得到\(n=0 , n= 1\)，显然解不是十进数

因式分解的方法不起作用，主要是十进数使用的基数为\(10\)，\(10=2\times 5\)是合数，两个整数相乘的尾数为0存在很多情况，只要是5与偶数相乘即可

为避免这种情况，使用素数为基数来替代

p进数（p-adics）

以p为基数，小数点左边无限位数的数为p进数，其中p为素数prime
没有小数部分的p进数为p进整数

这就保证了，因数分解时，尾数非0的两个数乘积结果的尾数必然不为0

对于无限长度整数位的p进整数
\(…\dot{q}q =-1\)，其中\(q=p-1\)；因为\(…\dot{q}q +1=…\dot0\)

三进数为例，\(…\dot{2}2 =-1\)
二进制中的补码，相似原理；二进制中，一个数的补码是通过将其所有位都取反+1而得到的
二进制数a的模2下的逆元为~a

p进数的应用1

对于毕达哥拉斯定理\(x^n+y^n=z^n\)，有整数解当且仅当\(n=1，2\)，即费马大定理

怀尔斯证明费马大定理开始使用的3进数，后改成5进数，每个p进数系统具有完全不相关的数字系统

模运算
十进制下，36对10取模为6（6是36关于20的余数），6、16、26与36关于10同余

使用p进数解方程，\(x^2+x^4+x^8=y^2\)
使用3进制表达x，y，那么\(x=\sum _{i=0}^{n}x_i\cdot 3^i\)，\(y=\sum _{i=0}^{n}y_i\cdot 3^i,n \to \infty\)
保证3进制下每位上的数字都相同

mod 3，3进制下尾数相同

\(x_0=0,1,2\)，显然\((x,y)=(0,0)\)是原方程的一组解，先排除
先取\(x_0=1\)

mod 9

\(x_1=1\)

mod 27


\(x_2=1\)

同理mod 81，mod 243……等，解得\(x_i=1\)

所以\(x=…\dot{1}1|_{p=3}\)

已知\(1+\sum_{i=1}^n \lambda ^i=\frac{1}{1-\lambda}\)，等式成立前提是\(\lambda<1\)

如果令\(\lambda=3\)，则\(x=…\dot{1}1|_{p=3}=-\frac{1}{2}|_{10}\)

正好\((x,y)=(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{9}{16})\)

p进数的应用2

比较两个数的不同的距离大小

\(S_1=\overline{……s_3s_2s_1s_0}|_{p}\)
\(T_1=\overline{……t_3t_2t_1t_0}|_{p}\)

低位向高位数，
第1位不相同即\(s_0 \ne t_0\)则，距离为\(\frac{1}{p^0}\)
第2位不相同即\(s_1 \ne t_1\)则，距离为\(\frac{1}{p^1}\)
……
第n-1位不相同即\(s_n \ne t_n\)则，距离为\(\frac{1}{p^n}\)

那么这两个数字的距离为这些距离之和

范数Norm是一个具有“长度”概念的函数，满足恒正性，乘法性，三角不等式

• 绝对值
• 欧几里得距离——闵可夫斯基距离
• 复数的模长
• p进绝对值

p进绝对值

N进数（包括p进数）的绝对值（赋值）和实数的绝对值完全不同

对于10进数

\(x=…98271000\)
它的最低非0位是千位，也就是 \(10^3\) ，我们称这个数的10进赋值为3，记作\(v_{10}(x)=3\)

对于小数（注意N进小数一定是有限小数）比如：
\(y=…12324.238\)
它的最低非零是千分位，也就是 \(10^{-3}\)，所以 \(v_{10}(y)=-3\) ，特别地最后一位不是0的N进整数，赋值为0

一般的，对于一个N进数， \(x=N^kx_0\) ，其中 \(k\in\mathbb{Z}\) ，\(x_0\in\mathbb{Z}_N\) ，且 \(x_0\)的个位不为0，那么 \(v_N(x)=k\)

特别地，规定0的N进赋值为正无穷大 \(+\infty\) 。

\(N\)进绝对值对 \(\forall x,y\in\mathbb{Q}_N\) 满足:

1、正定性 \(|x|_N\ge0\) 且 |\(x|_N=0\Leftrightarrow x=0\) ;
2、次齐次性\(|xy|_N\leq|x|_N|y|_N\) ;
3、强三角不等式 \(|x+y|_N\leq \max(|x|_N,|y|_N)\leq|x|_N+|y|_N\)

特别地当 \(N\) 是素数时，性质2升格为齐次性\(|xy|_p=|x|_p|y|_p\)

p进制整数<======> 多项式

• p进制整数形式(有限多个正次幂)：\(a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+…+a_1p^1+a_0p^0\)

p进制实数<======> 无穷多项式

• p进制实数形式(可以无限个负次幂，有限多个正次幂)：\(a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+…+a_1p^1+a_0p^0+a_{-1}p^{-1}+…+a{_m}p^{-m}+…,m \to \infty\)

p-adic 整数（p进整数）<=========>形式幂级数

• p-adic 整数(没有负次幂，有无穷多个正次幂)：\(…+a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+…+a_1p^1+a_0p^0,n \to \infty\)

p-adic 数（p进数）<=========>形式洛朗幂级数

• p-adic 数(只有有限个负次幂，有无穷多个正次幂)：\(…+a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+…+a_1p^1+a_0p^0+a_{-1}p^{-1}+…+a{_m}p^{-m},n \to \infty\)
  p进数具有无穷多个整数位，有限多个小数位
  实数具有有限多个整数位，无穷多个小数位
• 二者计算直和无区别
• 涉及极限时，二者拓扑不一样导致收敛性不一样

p-adic 分析和复分析是平行的

任意有理数的p进数
对于 \(\forall x\in\mathbb{Q}\) ，它都可以写成形式 \(x=N^k\frac{A}{B}\) ,其中 \(N\nmid A\) 且 \((N,B)=1\) ，记 \(v_N(x)=k\) ，同样定义\(x\)的\(N\)进绝对值为 \(|x|_N=\gamma^{v_N(x)}\) ，其中\(\gamma\) 是满足\(0<\gamma<1\) 的任意实数

p进数域

p进整数不完备，扩充到p进有理数通过p进绝对值完备化形成域

p进数是域，p进有理数自带的两个单位根，\(x_1=1,x_{p−1}=−1\)

• 对于奇素数（非2素数），\(Q_p\)中就严格地只有这\(p-1\)个单位根
• 对于\(p=2\)，有\(p\)个单位根，2进数与其他p进数有许多不同

如图八阶三角形【3，8】镶嵌——一个顶点连8个三角形

p进整数通过双曲树的分支衍生，路径（系数向量）映射到极性圆上的一点

对于满p叉树，总能找到k，使得【3,k】镶嵌完美容纳p叉树