中心矩

中心矩Central Moment

对于一维随机变量\(X\)，其\(k\)阶中心矩\(\mu _k\)为相對於\(X\)之期望值的\(k\)阶矩：

\(\mu_k = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])^k]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^k f(x) dx\)

其中，\(\mu = \mathrm{E}[X]\)

中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

在概率论中，矩是用来描述随机变量的某些特征的数字，即求平均值

• 第0阶中心矩\(\mu _0\)恒为1，表示事件的总概率
• 第1阶中心矩\(\mu _1\)恒为0，即一阶中心矩为期望（几何重心）
  \(\mu_1 =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) dx\)
• 第2阶中心矩\(\mu _2\)为X的方差，表示偏离重心的不同质量分布
• 第3阶中心矩\(\mu _3\)用于定义X的偏度（偏态），表示分布偏离对称的程度
• 第4阶中心矩\(\mu _0\)用于定义X的峰度（峰态），描述分布的尖峰程度，例如正态分布峰态系数=0

相关矩

物理概念上，矩讲的就是力矩，力矩=长度×力，物体收到的合力矩会影响其平衡，不仅仅取决于绝对力量的大小，还取决于他相关的长度

数学概率论中，期望（奖金） = （中奖）概率 × （中奖）金额

• \(E(X^k)\)为\(k\)阶原点矩
• \(E(|X|^k)\)为\(k\)阶绝对矩
• \(E((X-EX)^k)\)为\(k\)阶中心矩
• \(E(|X-EX|^k)\)为\(k\)阶绝对中心矩