幂平均数

幂平均数也叫\(p\)次幂平均数，\(p\)为非零实数，\(\{x_i\}\)为实数集合，则该集合的\(p\)次幂平均数为：

\[M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{\frac{1}{p}} \]

根据\(p\)的不同取值，有不同含义，该式统一各种常见的平均数，且函数\(M_p\)关于\(p\)是单调增函数

注意：\(p\)次幂平均数与\(p\)-范数（闵可夫斯基距离）数学形式上十分相近

故：

p取值	含义
\(-∞\)	\(min\{x_1,x_2,……，x_n\}\)
-1	调和平均数
趋于0	几何平均数
1	算术平均数
2	平方平均数
3	立方平均数
\(+∞\)	\(max\{x_1,x_2,……，x_n\}\)

如果\(a<p<b\)，且\(0<\alpha<1\)，那么则有加权幂平均数：

\[M_a<\alpha * M_a + (1-\alpha) *M_b<M_b \]

希罗平均数：两个非负实数的一种加权幂平均数

\[H = \frac{1}{3} \left(A + \sqrt{A B} +B \right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{A+B}{2} + \frac{1}{3}\cdot\sqrt{A B} \]