一些姿势

\[\gcd(xy)=\sum_{i \mid x} \sum_{j \mid y} [\gcd(i,j) = 1] \]

证明 ：
比较困难，一般记下来就好了。
我们考虑把 \(xy\) 的因子一一映射。
如果 \(xy\) 的因子 \(k\) 有因数 \(p^c\),\(x\) 中有因子 \(p^a\),\(y\) 中有因子 \(p^b\),我们约定：

• 如果 \(c \le a\)，我们在 \(x\)中计数。
• 如果 \(c > a\),我们把 \(c\) 减去 \(a\)，然后在 \(y\) 里计数 \(p^{c-a}\)。

然后对于其他因子同理，于是对于每一个因子都有唯一的映射，同时基于我们的约定，一个形如 \(p^x\) 的因子一定会被 \(x\),\(y\)之一记录，那么\(i,j\)互质才会产生贡献，这样记录可以做到不重不漏。

---

如果补图是二分图，那么就原图可以划分成两个完全图。

证明 ：

观察即可。