NSGA-II 带精英策略的双目标遗传算法

一、算法核心原理

1. Pareto最优理论

• 支配关系：解A支配解B，当且仅当A在所有目标上不劣于B且至少在一个目标上严格优于B
• 非支配前沿：所有不被其他解支配的解构成的集合，构成Pareto前沿

2. 精英策略机制

• 父代保留：将父代与子代合并后进行选择，确保优质基因不丢失
• 环境选择：通过非支配排序和拥挤度计算筛选下一代种群

3. 双目标优化流程

graph TD A[初始化种群] --> B[计算目标函数] B --> C[非支配排序] C --> D[拥挤度计算] D --> E[精英保留选择] E --> F[交叉变异] F --> G[生成子代] G --> H[合并种群] H --> C

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二、改进技术

1. 快速非支配排序

• 时间复杂度优化：从O(mN³)降至O(mN²)
• 实现步骤： 计算每个个体的被支配数 按被支配数分层（第一层为Pareto前沿） 递归处理剩余个体

2. 拥挤度计算

• 目的：保持种群多样性

• 计算方法：

  

  • d为目标维度（如f1,f2）
  • \(f_{d,max}/f_{d,min}\)为目标d的最大/最小值

3. 自适应遗传算子

• 交叉概率：动态调整（初始0.8→收敛后0.6）
• 变异算子：采用SBX（模拟二进制交叉）和多项式变异

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三、MATLAB实现方案

1. 核心代码框架

%% 参数设置
N = 100;        % 种群大小
G = 50;         % 最大迭代次数
pc = 0.8;       % 交叉概率
pm = 0.2;       % 变异概率

%% 初始化种群
pop = rand(N,2); % 二维目标空间
fitness = evaluate(pop); % 目标函数值

%% 主循环
for gen = 1:G
    % 非支配排序
    [fronts, ranks] = nonDominatedSort(fitness);
    
    % 拥挤度计算
    crowding = crowdingDistance(fitness, fronts);
    
    % 精英选择
    newPop = elitismSelection(pop, fronts, crowding);
    
    % 遗传操作
    offspring = geneticOperators(newPop, pc, pm);
    
    % 合并种群
    [pop, fitness] = mergePopulation(pop, offspring);
end

%% 结果可视化
plot(fronts(:,1),fronts(:,2),'ro');
xlabel('Objective 1'); ylabel('Objective 2');
title('Pareto Front');

2. 关键函数实现

• 非支配排序：

  function [fronts, ranks] = nonDominatedSort(fitness)
      N = size(fitness,1);
      dominates = zeros(N,N);
      for i = 1:N
          for j = 1:N
              if all(fitness(i,:) <= fitness(j,:)) && any(fitness(i,:) < fitness(j,:))
                  dominates(i,j) = 1;
              end
          end
      end
      % 分层处理...
  end
  

• 拥挤度计算：

  function crowding = crowdingDistance(fitness, fronts)
      [N,objs] = size(fitness);
      crowding = zeros(N,1);
      for f = 1:objs
          [~,order] = sort(fitness(:,f));
          crowding(order(1)) = Inf;
          crowding(order(end)) = Inf;
          for i = 2:N-1
              crowding(order(i)) = crowding(order(i)) + ...
                  (fitness(order(i+1),f) - fitness(order(i-1),f));
          end
      end
  end
  

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四、性能优化

1. 并行计算加速

% 使用parfor并行计算适应度
parfor i = 1:N
    fitness(i,:) = evaluate(pop(i,:));
end

2. 动态参数调整

• 自适应交叉率：

  pc = 0.8 - 0.005*(gen-1); % 随迭代次数递减
  

3. 内存优化

• 稀疏矩阵存储：处理大规模种群时使用sparse矩阵

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五、工程应用案例

1. 天线阵列优化

• 目标函数：

  {MinimizeMinimize主瓣宽度副瓣电平
  

• MATLAB实现：

  function y = antennaObjective(x)
      N = 8; % 阵元数
      d = 0.5*lambda; % 阵元间距
      theta = 30*pi/180; % 波束指向
  
      % 计算阵列方向图
      [theta_scan, P] = pattern(x, N, d, theta);
  
      y(1) = max(P);       % 主瓣宽度
      y(2) = max(P(1:10)); % 前瓣抑制
  end
  

2. 机器人路径规划

• 多目标函数： 路径长度最短 避障成功率最高

• NSGA-II参数：

  options = optimoptions('gamultiobj',...
      'PopulationSize',50,...
      'CrossoverFcn',{@crossoverUniform,0.8},...
      'MutationFcn',{{@mutationAdaptiveFit,0.02}});
  

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六、参考文献

1. 王振杰. 改进NSGA-II算法在天线优化中的应用. 电子学报, 2021.

2. 代码 NSGAII 带精英策略的双目标遗传算法 www.youwenfan.com/contentcnk/78417.html

3. MathWorks. NSGA-II in MATLAB. 官方文档 ww2.mathworks.cn/help/gads/examples/multiobjective-optimization-using-ga.html

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该方法通过精英策略保留优质基因，在保持种群多样性的同时加速收敛。实际应用中需注意目标函数尺度归一化和参数动态调整，建议对高维问题采用降维处理（如PCA）后再进行优化。