线性三棱柱单元的积分点外推

在《有限元中的积分点结果是如何外推到节点的？》一文中我们提到，当积分点数与节点数不相等时，我们无法再简单地通过 \(\mathbf A=\mathbf N^{-1}\) 构造外推矩阵。这时，问题的本质就从“矩阵求逆”变成了“如何根据有限的积分点数据重构单元内部的场”。这里以 Abaqus 中的 C3D6 单元为例，看看这种情况下外推矩阵是如何构造的。

C3D6 是一个 6 节点线性三棱柱（wedge）单元。从参考单元的角度，可以将其理解为

\[\boxed{ \text{linear triangle}\times\text{linear line} } \]

其形状如下图所示：

C3D6 采用 TRIPRISM3D2 积分规则，共有两个积分点。这个积分规则可以理解为：

\[\boxed{ \text{triangle 1-point rule} \times \text{line 2-point Gauss rule} } \]

也就是说，在三角形截面内只取重心，而沿棱柱轴向 \(\zeta\) 采用两个 Gauss 点：

\[\zeta_1=-\frac{1}{\sqrt3}, \qquad \zeta_2=+\frac{1}{\sqrt3}. \]

因此两个积分点具有相同的三角形局部坐标，只在 \(\zeta\) 方向上的位置不同。

这意味着，仅凭这两个积分点的结果，我们无法恢复变量在三角形截面内的变化；能够从两个采样值唯一确定的，是沿 \(\zeta\) 方向的一次变化。因此，该外推矩阵等价于采用如下重构假设：

\[\boxed{ u(\xi,\eta,\zeta)\approx u(\zeta)=a+b\zeta } \]

也就是说

假设重构变量在每个三角形截面内为常数，仅保留沿棱柱轴向 \(\zeta\) 的一次变化。

一维二节点单元的两点 Gauss 外推矩阵为：

\[\mathbf A_{\mathrm{1D}} = \frac12 \begin{bmatrix} 1+\sqrt3 & 1-\sqrt3\\ 1-\sqrt3 & 1+\sqrt3 \end{bmatrix}, \]

也就是说：

\[u(-1) = \frac{1+\sqrt3}{2}u_{I_1} + \frac{1-\sqrt3}{2}u_{I_2}, \]

\[u(+1) = \frac{1-\sqrt3}{2}u_{I_1} + \frac{1+\sqrt3}{2}u_{I_2}. \]

由于节点 \(1,2,3\) 位于同一个端面 \(\zeta=-1\)，而节点 \(4,5,6\) 位于另一个端面 \(\zeta=+1\)，因此：

\[\begin{aligned} u_1=u_2=u_3 &= \frac{1+\sqrt3}{2}u_{I_1} + \frac{1-\sqrt3}{2}u_{I_2}, \\[4pt] u_4=u_5=u_6 &= \frac{1-\sqrt3}{2}u_{I_1} + \frac{1+\sqrt3}{2}u_{I_2}. \end{aligned} \]

于是积分点到节点的外推矩阵为

\[\boxed{ \mathbf A= \frac12 \begin{bmatrix} 1+\sqrt3 & 1-\sqrt3\\ 1+\sqrt3 & 1-\sqrt3\\ 1+\sqrt3 & 1-\sqrt3\\ 1-\sqrt3 & 1+\sqrt3\\ 1-\sqrt3 & 1+\sqrt3\\ 1-\sqrt3 & 1+\sqrt3 \end{bmatrix} } \]

这个例子很好地说明了，当 \(n_{\mathrm{GP}}\neq n_{\mathrm{node}}\) 时，积分点到节点的转换不再只是简单地寻找 \(\mathbf N^{-1}\)。更一般地，我们需要选择一个能够由现有积分点数据唯一确定的重构空间：

\[\boxed{ \text{Integration-point samples} \rightarrow \text{field reconstruction} \rightarrow \text{nodal evaluation} } \]

对于 C3D6，两个积分点不足以恢复完整的六节点 wedge 场，因此这里采用了一个更低维的重构：

\[u(\xi,\eta,\zeta) \quad\longrightarrow\quad u(\zeta)=a+b\zeta. \]