PCB 热结构仿真中所用到的Trace Mapping 技术

背景

PCB 是一个典型的多物理场、多尺度工程结构。从电子设计的角度看，一块 PCB 中包含大量走线、铜箔、过孔以及不同材料层。这些细节对于电磁和热分析非常重要，因此通常会完整保存在 ECAD（Electronic Computer-Aided Design）模型中。但是到了结构分析阶段，如果把所有微小走线和铜箔几何都直接建立成有限元模型，模型规模和网格复杂度会迅速增加，计算成本也会变得非常高。因此，在结构仿真中通常更希望使用相对简化的 MCAD（Mechanical Computer-Aided Design）模型。这就产生了一个问题：

几何可以简化，但是铺铜对 PCB 刚度、热膨胀以及整体变形的影响不能一起被删掉。

Trace Mapping 要解决的正是这个问题。

Trace Mapping 技术

在进行结构仿真时，我们只使用了 PCB 板的机械结构模型，然后通过trace mapping 技术将铺铜对结构分析的影响考虑进来，主要思路就是通过每个网格处的材料分布计算出等价的材料参数。因此最终结构模型可能变成：

              FEM Mesh

┌──────────┬──────────┬──────────┐
│ Material │ Material │ Material │
│    A     │    B     │    C     │
├──────────┼──────────┼──────────┤
│ Material │ Material │ Material │
│    D     │    E     │    F     │
└──────────┴──────────┴──────────┘

几何仍然很简单，但每个区域拥有不同的等效材料属性。

ECAD 和 MCAD 通常使用完全不同的几何表示方式。ECAD 描述的是复杂的电子结构，而 MCAD/FEM 使用的是适合力学计算的有限元网格。因此不能简单地建立\(\text{ECAD element} \leftrightarrow \text{FEM element}\)的一一对应关系。

一种比较自然的处理思路，是在两者之间建立一个中间网格。在这个网格上，可以统计局部区域内不同材料的分布，并进一步建立相应的等效材料描述。

中间网格的作用并不是参与最终有限元求解，而是充当 ECAD 和 MCAD 之间的数据桥梁。具体算法可以参考[1] 。

体积分数的计算

[1] 中告诉了我们在体积参数时如何求等效材料系数，但是没有说体积参数如何得到。下面介绍一下如何从结构化网格映射到有限元网格时所使用的体积分数计算方法。

由于结构化网格与坐标轴平行并且未凸多边形的特性，结构化网格到有限元网格所涉及的问题其实比一般的 clipping 问题简单。对于每一个有限元单元，我们可以建立AABB型包围盒。

记包围盒的两端点为\((x_{min},y_{min}),(x_{max},y_{max})\)，结构化网格的起始点为 \((x_0, y_0)\)。

定义第 (i, j) 个单元为 \(x \in [x_0+i*h, x_0+(i+1)*h], y \in [y_0+i*h, y_0+(i+1)*h]\) ，则AABB包含的单元范围为

i_min = int((x_min - x0) // h)
i_max = int((x_max - x0) // h)
j_min = int((y_min - y0) // h)
j_max = int((y_max - y0) // h)
# (i, j) where i in [i_min, i_max] and j in [j_min, j_max]

这些单元为可能相交的单元 (candidate grid cells)。

然后我们遍历 candidate grid cells，计算相交区域

for i in range(i_min, i_max+1):
    for j in range(j_min, j_max+1):
        if cell (i, j) is inside finite element:
            intersect_area = hx*hy
        if cell (i, j) is intersect with finite element:
            compute intersect area

当有限元单元和结构化网格单元相交时，我们需要利用多边形裁剪算法计算相交区域。结构化网格是凸多边形，可以使用 Sutherland–Hodgman 算法计算进行裁剪，设它为被裁剪的面，然后使用shoelace formula计算多边形面积。

参考文献

[1] https://innovationspace.ansys.com/knowledge/forums/topic/theory-of-trace-mapping-in-mechanical/