KDOP+BVH 碰撞检测算法

在计算机图形学、物理引擎以及求解器中的接触/绑定搜索（Contact / Tie Search）中，包围盒（Bounding Box）是加速几何查询和剔除无关计算的核心技术。常见的包围盒有 AABB（轴对齐包围盒）、OBB（定向包围盒）和K-DOP（Discrete Oriented Polytope，离散定向多胞体） 。其中，AABB（Axis-Aligned Bounding Box）其实是 K-DOP 的一种特例，即6-DOP。

K-DOP 的定义

k-DOP 可以理解为：用一组固定方向上的平行平面把几何体包起来。

如果有 k 个边界平面，就有 k/2 个方向。随着 k 值的增加，K-DOP 会包含更多方向的平面，从而能更紧密地包裹物体，但也会增加碰撞检测的计算开销。

下表列出了几个常见的K-DOP。

包围盒类型	k 值	示意图	特点与适用场景
AABB	6		构建与碰撞检测速度最快，但对倾斜物体的包裹性较差。
14-DOP	14		切去立方体的 8 个角，提供更好的紧密度。
18-DOP	18		切去立方体的 12 条棱，常用于复杂几何体的高效碰撞剔除。
26-DOP	26		包裹极其紧密，接近凸包，常用于高精度物理碰撞检测。

在代码实现上，每个方向 d_i 可以用两个点表示：

min_i = min(d_i · p)
max_i = max(d_i · p)

所以一个 k-DOP 实际存的是：

[min_0, max_0]
[min_1, max_1]
...
[min_{k/2-1}, max_{k/2-1}]

其中

• \(p\) 是输入的模型顶点坐标（变量，来自网格数据）。
• \(d_i\) 是预先设定好的投影方向（常量，决定了包围盒的形状类型）。
• min_i 与 max_i 保存了整个模型在 \(d_i\) 方向上的“最远边界”，由这 \(k/2\) 对区间共同夹出的空间，就是该物体的 K-DOP 包围盒

两个 k-DOP 的碰撞判断

碰撞检测很简单。两个物体在方向 (d_i) 上的投影区间分别为：

\[[A_i^{\min}, A_i^{\max}],\qquad [B_i^{\min}, B_i^{\max}] \]

只要任意一个方向上的区间不相交：

\[A_i^{\max}<B_i^{\min} \quad\text{或}\quad B_i^{\max}<A_i^{\min} \]

两个 k-DOP 就一定不相交。只有所有方向上的区间都重叠，才认为包围体重叠，进入后续精确接触检测。

BVH + k-DOP 搜索

单独 k-DOP 只能判断两个对象是否可能相交。为了避免所有面元两两比较，需要把 k-DOP 放进 BVH，然后进行接触搜索。BVH（Bounding Volume Hierarchy） 是一种在计算机图形学中广泛使用的空间加速数据结构。它实际上是一种树结构，叶节点对应一个真实的面单元，根节点包围整个表面，内部节点的包围体包含其所有子节点。

BVH 划分示意图[1]

BVH 节点可以定义成

struct BvhNode {
    BoundingVolume bounding_volume;

    int left_child;
    int right_child;

    int entry_index;  // 仅叶节点有效
};

判断是否为叶节点的方法是：

bool IsLeaf() const
{
    return m_entry_index != kBadIndex;
}

因此有两种节点状态：

叶节点：
    entry_index = 表面单元索引
    left/right  = 无效
    bounding_volume = 该单元的 k-DOP

内部节点：
    entry_index = 无效
    left/right  = 两个子节点索引
    bounding_volume = 两个子树包围体的并集

树的构建过程是：

1. 给每个表面单元建立叶节点包围体
2. 根据单元中心坐标选择划分轴
3. 用 SAH 代价 ( Surface Area Heuristic ) 选择最佳分割位置
4. 递归构建左右子树
5. 将子树包围体合并为父节点包围体

两个 BVH 做碰撞搜索时，从两个根节点开始：

(rootA, rootB)
        |
        ├─ 包围体不重叠：整对子树全部丢弃
        |
        └─包围体重叠：
              |
              ├─ 都是叶节点：输出候选单元对
              |      
              └─ 至少一个是内部节点：展开子节点继续比较

两个表面单元的包围体重叠不能说明表面真的接触，后面还需要做精筛。

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/zhanxi1992/article/details/127462494