有限元中的 Locking：为什么单元会变得异常刚硬

在有限元计算中，有时会遇到一种非常反直觉的现象：网格看起来没有问题，材料参数也没有问题，但计算得到的结构却异常“硬”。

典型表现包括：

• 计算位移明显小于理论解；
• 某些极限情况下，位移甚至趋近于零；
• 应力或反力异常；
• 换成另一种单元以后，结果突然恢复正常。

这种现象通常被称为 Locking（锁死）。

常见的 locking 包括：

• Shear locking（剪切锁死）
• Volumetric locking（体积锁死）
• Membrane locking（膜锁死）

它们发生在不同的问题中，但背后存在一个非常统一的数学机制。

理解 locking，也是理解为什么有限元中需要 reduced integration、mixed formulation、hybrid element、B-bar 等各种特殊单元技术的基础。

1. 什么是 Locking？

先给出一个直观定义：

Locking 是有限元离散在逼近受约束问题时，由于近似空间不能正确表示约束允许的变形模式，从而产生非物理额外刚度的现象。

最终表现为：

\[\boxed{ K_{\mathrm{FEM}} > K_{\mathrm{physical}} } \]

怎么理解这个定义呢？我们假设能量中存在一个约束项，“罚函数型” 势能模型可以写成以下形式:

\[\Pi(\mathbf u) = \Pi_0(\mathbf u) + \frac{\lambda}{2} \int_\Omega g(\mathbf u)^2\,d\Omega - W_{\mathrm{ext}} \]

当 \(\lambda\rightarrow\infty\)，为了保持有限能量，连续解必须满足 \(g(\mathbf u)=0\)，问题就变成了一个受约束问题。

关键在离散以后。如果有限元空间 \(V_h\) 中找不到足够丰富的 \(\mathbf u^h\)，使得 \(g(\mathbf u^h)=0\)同时还能描述真实变形，那么有限元就陷入两难：

\[\text{满足约束} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{无法正常变形} \]

最终数值解选择“少变形”，于是表现为异常刚硬。

2. 三种常见 Locking 的数值来源

下面，我们选取三个常见 Locking shear locking、volumetric locking、membrane locking，顺着这样的思路: 物理极限是什么 → 哪个应变应该趋于零 → 离散后为什么做不到，分别解释它们的数值来源。

2.1 Shear locking：零剪切约束与弯曲模式不兼容

我们用 Timoshenko 梁受弯的情形来解释 shear locking 现象。Timoshenko 梁的剪切应变为 \(\gamma_{xz} = \frac{dw}{dx}-\theta\)。当梁越来越细长，\(\frac{h}{L}\rightarrow0\)，Timoshenko 梁趋近 Euler-Bernoulli 梁，此时 \(\gamma_{xz}\rightarrow0\)。但梁仍然应该能够发生弯曲：\(\kappa = \frac{d\theta}{dx} \neq0\)。因此连续问题允许

\[\boxed{ \gamma_{xz}=0, \qquad \kappa\neq0 } \]

问题出现在低阶离散。如果 \(w\) 和 \(\theta\) 都采用一次插值：\(w^h=a_0+a_1x\) 和 \(\theta^h=b_0+b_1x\)，那么

\[\gamma_{xz}^h = a_1-b_0-b_1x \]

如果要求整个单元中 \(\gamma_{xz}^h=0\)，则必须有

\[ a_1-b_0=0, \qquad b_1=0 \]

但是这和 \(\kappa^h = \frac{d\theta^h}{dx} = b_1\neq0\) 相悖。也就是说，离散空间无法同时表示“零剪切 + 非零弯曲”。于是实际计算只能允许一点寄生剪切应变：\(\gamma_{xz}^h\neq0\) ，它产生额外剪切能 \(U_s^h = \frac12 \int_\Omega G(\gamma_{xz}^h)^2\,d\Omega\)。对于越来越薄的结构，这部分本不应该主导响应，却在离散模型中形成了额外刚度，这就是 shear locking 的数值来源。

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2.2 Volumetric locking：不可压缩约束与位移空间不兼容

这个适合用近不可压缩弹性解释。

体积应变为 \(\varepsilon_v = \nabla\cdot\mathbf u\)，体积应变能为

\[U_{\mathrm{vol}} = \frac12 \int_\Omega K(\nabla\cdot\mathbf u)^2\,d\Omega$ \]

其中 \(K = \frac{E}{3(1-2\nu)}\)

当 \(\nu\rightarrow0.5\)，有\(K\rightarrow\infty\)，因此有限能量要求

\[\boxed{ \nabla\cdot\mathbf u\rightarrow0 } \]

但注意：不可压缩并不等于不能变形。真实材料仍然可以发生大量等体积变形：

\[\nabla\cdot\mathbf u=0, \qquad \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{dev}}\neq0 \]

问题在于某些低阶位移空间中，满足\(\nabla\cdot\mathbf u^h=0\) 的非平凡变形模式太少。

例如规则 Q4 单元：

\[u^h=a_0+a_1x+a_2y+a_3xy\\ v^h=b_0+b_1x+b_2y+b_3xy \]

于是 \(\nabla\cdot\mathbf u^h = (a_1+b_2)+b_3x+a_3y\)。如果要求整个单元严格不可压缩：\(\nabla\cdot\mathbf u^h=0\)，就必须满足

\[a_1+b_2=0, \qquad a_3=0, \qquad b_3=0 \]

因此不可压缩约束消掉了部分本来可以用于描述非均匀变形的模式。

最终有限元面临保持丰富变形 vs. 满足不可压缩约束的冲突，于是表现为 volumetric locking。

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2.3 Membrane locking：零膜应变约束与弯曲模式不兼容

这一部分我暂时没接触过，埋个坑，以后填。

最直观的物理状态是：

一个很薄的曲壳发生近似纯弯曲时，可以具有明显的曲率变化，但理想情况下中面膜应变应该很小。

也就是说，弯曲主导极限下希望：\(\boldsymbol{\varepsilon}_m\rightarrow0\) 同时 \(\boldsymbol{\kappa}\neq0\)，但是离散曲面几何和低阶位移插值之间可能不兼容。于是薄壳表现得异常刚硬，这就是 membrane locking。

3. 总结

\(\boxed{ \text{Locking 的数值本质不是“应变太大”，而是本应趋于零的约束应变在离散后无法正确趋于零。} }\)

因此会产生 \(\text{parasitic strain} \rightarrow \text{parasitic energy} \rightarrow \text{artificial stiffness} \rightarrow \text{locking}\)。