教材小错误:极限四则运算法则里的除法前提

对于极限四则运算法则的描述,首先让我们来看“数学分析教程,第二版,常庚哲,史济怀,p15”的描述:

再看“数学分析,第二版,陈纪修,於崇华,金路,p42”的描述:

有没有发现什么错误呢?

极限除法法则实际上说的是数列$\frac{a_{n}}{b_{n}}$和数列$a_{n}$$b_{n}$的极限关系,而数列$\frac{a_{n}}{b_{n}}$存在的前提是作为分母的各$b_{n}$不能为0,但是上面两本教材都忽略了这一点,准确的描述应该根据$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} b_{n} \neq 0$得出某N项后的所有$b_{n} \neq 0$,然后在此基础上再谈论除法法则,或者进一步加强限制像“数学分析(上册),第四版,华东师范大学数学系,p32”这种:

这个问题是我在试着表述极限除法法则思考前提条件时发现的,造成这个问题的根本原因还是因为我们默认了一切数列的定义域是所有自然数,如果我们定义数列的定义域是整数的一个区间(a sequence is formally defined as a function whose domain is an interval of integers1),那么就可以根据$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} b_{n} \neq 0$灵活调整数列$\frac{a_{n}}{b_{n}}$的定义域从而避免分母为零的问题。这个问题也让我去检查教材上的函数极限除法法则的前提条件是否也存在同样的问题,但是对于$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu}\frac{f}{g}(x) = \frac{\lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} f(x)}{\lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} g(x)}$,因为要求其中的$\lim_{x \rightarrow x_{10}}\mspace{2mu} g(x) \neq 0$,根据

2得知有领域内的$\mspace{2mu} g(x) \neq 0$,并且函数$\frac{f}{g}(x)$的定义域也并没有默认和$g(x)$是一样的,因此便不会有同样的问题,相反数列$\frac{a_{n}}{b_{n}}$$\mspace{2mu} b_{n}$的定义域被默认为是一样的,是全体自然数,这便造成了上述问题。


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence#Definition↩︎

  2. 数学分析,第二版,陈纪修,於崇华,金路,p75↩︎

posted @ 2022-12-09 10:32  iMath  阅读(533)  评论(0编辑  收藏  举报
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