【已解决】对发现无理数过程的逻辑严谨性的疑惑

前几个月头脑里产生了这个想法:毕达哥拉斯学派在发现无理数那一刻之前使用的是有理数,那么毕达哥拉斯定理(勾股定理)那时候也就可以看作是在有理数集内成立的定理,但是发现无理数的那位(名叫Hippassus of Metapontum)在不确定两直角边为1的直角三角形的斜边长度是不是有理数来的情况下就冒然把毕达哥拉斯定理套在这个直角三角形上进一步发现了无理数的存在,这种忽视定理成立范围而乱用定理的做法让我觉得有问题。

当时想到这点的时候顿时有种发现千古大漏洞的感觉,各位可停止往下看,先想一想这个想法有没有道理?

现在我认识到这种想法是有问题的,因为那时的毕达哥拉斯学派认为一切长度都可以用有理数度量,这是我找到的佐证:Recall that, to the Pythagoreans, all things were measured by number; that is, by positive integers, or the ratio of two of them1. 所以发现无理数的那位一开始也同样认为斜边长度是有理数,故其对毕达哥拉斯定理的使用并未超出那时其成立的范围——有理数集。

下面说说我解决这个问题的几点思考和认识。

在发现无理数之前的毕达哥拉斯学派为什么会认为一切长度都可以用有理数来度量呢?我认为是两个原因:(1)在数轴上任意小的区间内总有无数多个密密麻麻的无理数,以至于乍看之下该区间好像都被有理数填满的样子——有理数稠密性的体现;(2)对于长度的度量,现实中我们并不追求绝对准确,只要求到一定的精确范围就可以了,所以现实生活中仅仅用有理数就可以表示我们要度量的一切长度了(After all, in physical reality quantities are never given or known with absolute precision but always only with a degree of uncertainty and therefore might just as well be considered as measured by rational numbers2.)。“也许”正是因为这两点(此处我懒得再去考古数学史了,所以用了“也许”一词),毕达哥拉斯学派认为有理数已经铺满了整条数轴、一切长度都可以用有理数来度量。

在弄清本文开头这个问题之前我对勾股定理的表述是:直角三角形两直角边的长度的平方的和等于斜边长度的平方。这种表述里提到的“长度”是用数来表示的,也就是说想到勾股定理的时候我更关注的是这三边的数量关系,所以在思考无理数发现过程的勾股定理使用的时候也就可能就比较关注勾股定理成立的数系范围,可能也就因此才有了最上面的疑惑。后来为了解决这个问题我看到维基百科上对勾股定理的表述是这样的:平面上以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于以该直角三角形的两直角边为边的两个正方形的面积之和(The area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares on the other two sides3),然后又看到了如下的图示证明:

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我才认识到勾股定理的成立是不依托于任何数系的,我之前那种只关注三边数量关系的认识有点降本流末后抓不到实质的感觉。这里对这种图示证明稍作解释:左右两边大的正方形面积是相等的,左右两边四个有颜色的三角形的面积之和也是相等的,那么左右两边大的正方形面积分别减去里面的四个有颜色的三角形的面积之和剩下的面积也是相等的,左边剩下的是以斜边c为边的白色正方形的面积,右边剩余的是以直角边a为边的白色正方形的面积和以直角边b为边的白色正方形的面积,这就证明了“平面上以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于以该直角三角形的两直角边为边的两个正方形的面积之和”——勾股定理。通过这个图示和证明,我们可以进一步认识到勾股定理的成立是不依赖于数系的。

至于勾股定理是怎么用数量化的方式来表述的,这要说到面积的数量表示,原理如下4

https://cdn-skill.splashmath.com/panel-uploads/GlossaryTerm/6308c6260bb94b78b31ea2c755027135/1545883041_Unit-squares-in-area-in-square-centimeters.png5

In order to calculate the area of a plane figure we choose as the unit of area a square whose sides are of unit length. If the unit of length is the inch, the corresponding unit of area will be the square inch; i.e. the square whose sides are of length one inch. On the basis of this definition it is very easy to calculate the area of a rectangle. If $ p $ and $ q $ are the lengths of two adjacent sides measured in terms of the unit of length, then the area of the rectangle is $ p q $ square units, or, briefly, the area is equal to the product $ p q . $ This is true for arbitrary $ p $ and $ q, $ rational or not. For rational $ p $ and $ q $ we obtain this result by writing $ p=m / n $ $ q=m^{\prime} / n^{\prime}, $ with integers $ m, n, m^{\prime}, n^{\prime} . $ Then we find the common measure $ 1 / N=1 / n n^{\prime} $ of the two edges, so that $ p=m n^{\prime} \cdot 1 / N, q= $ $ n m^{\prime} \cdot 1 / N . $ Finally, we subdivide the rectangle into small squares of side $ 1 / N $ and area $ 1 / N^{2} . $ The number of such squares is $ n m^{\prime} \cdot m n^{\prime} $ and the total area is $ n m^{\prime} m n^{\prime} \cdot 1 / N^{2}=n m^{\prime} m n^{\prime} / n^{2} n^{\prime 2}=m / n \cdot m^{\prime} / n^{\prime}=p q $ If $ p $ and $ q $ are irrational, the same result is obtained by first replacing $ p $ and $ q $ by approximate rational numbers $ p_{r} $ and $ q_{r} $ respectively, and then letting $ p_{r} $ and $ q_{r} $ tend to $ p $ and $ q $. (中译:为了计算平面图形的面积, 我们选择边长为单位长度的正方形作为面积的单位. 如果单位长度是一英寸,则对应的面积单位将是一平方英寸,即边长为一英寸的正方形. 由此很容易计算矩形的面积. 如果用单位长度度量两个相邻边所得到的长度是 $ p $ 和 $ q, $ 那么矩形面积就是 $ p q $ 个单位, 或者简单地说,面积等于乘积 $ p q . $ 对于任意的 $ p $ 和 $ q, $ 不论是有理数还是无理数 $ , $ 这个结论都是正确的. 如果 $ p $ 和 $ q $ 是有理数,为了得到这个结论, 我们把 $ p $ 和 $ q $ 表示为$p=\frac{m}{n}, q=\frac{m^{\prime}}{n^{\prime}}$其中 $ m, n, m^{\prime}, n^{\prime} $ 都是整数. 然后我们求两个边的公共度量 $ \frac{1}{N}= \frac{1}{n n}, $ 那么 $ p=m n^{\prime} \cdot \frac{1}{N}, q=n m^{\prime} \cdot \frac{1}{N} \cdot $ 最后,把矩形分解成许多边长为 $ \frac{1}{N} $,面积为 $ \frac{1}{N^{2}} $ 的小正方形. 这些正方形共有 $ n m^{\prime} \cdot m n^{\prime}$个,并且总面积是$n m^{\prime} m n^{\prime} \cdot \frac{1}{N^{2}}=n m^{\prime} m n^{\prime} \cdot \frac{1}{n^{2} n^{2}}=\frac{m}{n} \cdot \frac{m^{\prime}}{n^{\prime}}=p \cdot q$。如果 $ p $ 和 $ q $ 是无理数,那么我们先用近似的有理数 $p_{r} $ 和 $ q_{r} $分别替换$ p $和 $ q$, 然后令 $ p_{r} $ 和 $ q_{r} $ 趋于 $ p $ 和 $ q, $ 也得到同样的结果.)

针对上述面积的数量表示,我解释两点:

(1)为什么“边长为 $ \frac{1}{N} $的小正方形的面积为 $ \frac{1}{N^{2}} $”:将面积为单位1的正方形的长和宽都N等分以至于最终这个正方形被等分成了$N^{2}$个边长为$ \frac{1}{N} $的小正方形,显然每个小正方形的面积是之前面积为单位1的正方形的$ \frac{1}{N^{2}} $;

(2)上面说的是$ p $ “” $ q $都是无理数的面积定义,但实际上正确的说法应该改成 $ p $ “” $ q $ 是无理数(可其一是无理数,也可二者都是),所以当 $ p $ 或 $ q $ 是无理数时,对应的矩形面积值是通过数列 $ \{p_{r} q_{r}\} $($r$是自然数)的极限来定义的,这个极限值也被定义为 $ p $ 和 $ q $ 的乘积,所以这里边长为 $ p $ 和 $ q $ 的矩形面积值定义和无理数的乘法定义是同样的思想,想进一步了解如何由有理数来确立无理数的诸多性质可看我之前写的《从有理数到实数和数的连续体》(https://www.cnblogs.com/iMath/p/8257142.html)。


  1. The Irrationals, Julian Havil, p19

  2. Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p5

  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem

  4. What Is Mathematics? Second Edition, Courant and Robbins, p399

  5. https://www.splashlearn.com/math-vocabulary/geometry/area

posted @ 2020-07-10 10:57  iMath  阅读(37)  评论(0编辑  收藏
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