不定积分的符号定义问题

在很多教材里\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)都被定义成是\(f(x)\)的所有原函数的集合,如《数学分析教程》,第二版,常庚哲,史济怀,p228:

既然\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)是一个集合,那么根据定义来看应该有

\[\int_{}^{}{f(x)dx = \{ F(x) + c:c \in R\}}\]

而不是第二个红框里面的内容。鉴于实际应用过程中\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)仍然被等同于\(F(x) + c\),如:

那么“\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)被定义为f(x)的原函数的一般式”更为合理,正如The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volume 1, 1st Edition, G. M. Fikhtengol'ts, p300(中译本:菲赫金哥尔茨《数学分析原理》)里所说的那样

Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p189里也表达了同样的观点

上面说到的这个问题,国内的另外两本数学分析书上也同样存在:

数学分析,第二版,陈纪修,於崇华,金路,p242

数学分析(上册),第四版,华东师范大学数学系,p177

国外的有些书上也存在这种问题,如

Thomas’ calculus, 14th edition, Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir , p232

posted @ 2019-09-02 20:08  iMath  阅读(2638)  评论(0编辑  收藏  举报
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