交换和号

交换和号

法则——两层和号

入内求交，出外求并。内层变量移动到外层时，将内层限制条件对外层变量求并；外层变量移动到内层，则将外层变量与内层变量形式地并列，适当地等价变形以适合求和需求。

用数学公式表达就是

\[\large{\sum\limits_{i\in A}\sum\limits_{j\in B(i)}a_{i,j}=\sum\limits_{j\in\cup_{i\in A}B_i}\sum\limits_{i\in\{j\in B(i),i\in A\}}a_{i,j}} \]

注意：如果第二层循环的限制条件与 \(i\) 无关，那么就没有上述法则，直接交换位置即可。比如

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ma_i\cdot a_j=\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^na_i\cdot a_j \]

例1

\[\begin{align*} &\sum\limits_{d=1}^n\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\varphi(d)\\ &=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1,d\mid i}^n\varphi(d)\\ &=\sum\limits_{\color{red}{i=1}}^{\color{red}{n}}\sum\limits_{\color{red}{d=1,d|i}}^{\color{red}{n}}\varphi(d)\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{\color{red}{d|i}}\varphi(d)\\ &=\sum\limits_{i=1}^n n\\ &=\frac{n(n+1)}{2} \end{align*} \]

例2（莫比乌斯反演）

假设

\[f(n)=\sum\limits_{d\mid n}g(d) \]

则

\[\begin{align*} &g(n)\\ &=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\\ &=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum\limits_{i\mid \frac{n}{d}}g(i)\\ &=\sum\limits_{d\mid n}\sum\limits_{i\mid \frac{n}{d}}\mu(d)g(i)\\ &=\sum\limits_{\color{red}{i\mid n}}\sum\limits_{\color{red}{d\in\{d\mid n,i\mid \frac{n}{d}\}}}\mu(d)g(i) \end{align*} \]

我们先缓一步。观察交换之后 \(d\) 的限制条件 \(d\in\{d\mid n,i\mid \frac{n}{d}\}\)。这个条件比较“形式”，不方便快速求和，所以我们需要找到一个更加简洁的等价形式。

由于 \(i\mid\frac{n}{d}\)，因此 \(\frac{n}{d}=k\cdot i(k\in \Z)\)。又因为 \(d\mid n\)，因此 \(k\cdot d=\frac{n}{i}\)。即 \(d\mid \frac{n}{i}\)。

所以，一个更简单的等价形式就是 \(d\mid \frac{n}{i}\)。于是原式可以继续化为

\[\begin{align*} &=\sum\limits_{\color{red}{i\mid n}}\sum\limits_{\color{red}{d\in\{d\mid n,i\mid \frac{n}{d}\}}}\mu(d)g(i)\\ &=\sum\limits_{i\mid n}\sum\limits_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)g(i)\\ &=\sum\limits_{i\mid n}g(i)\sum\limits_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)\\ \end{align*} \]

由莫比乌斯函数的性质： \(\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\) 仅在 \(n=1\) 时 \(=1\)，其余情况 \(=0\)。因此

\[\begin{align*} &=\sum\limits_{i\mid n}g(i)\sum\limits_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)\\ &=\sum\limits_{i\mid n}g(i)[\frac{n}{i}=1]\\ &=g(n) \end{align*} \]

上式 \(g(n)=g(n)\) 恒成立，因此假设成立。