四校联考（一）day2

T1

\[f[i]=max(f[j]-a \times ceil(\frac{p[i]-p[j]}{z}))+w[i] \]

打表发现没有决策单调性
考虑拆掉上取整

\[p[i]=k[i]\times z+b[i] \]

\[ceil(\frac{p[i]-p[j]}{z})=k[i]-k[j]+[b[i]>b[j]] \]

\[f[i]=max(f[j]+a\times k[j]-a\times [b[i]>b[j]]))-a\times k[i]+w[i] \]

相当于两种转移，离散化后树状数组
\(O(nlogn)\)

T2

考试时最后统计答案范围错了
发现答案为石子为奇数的颜色数不超过\(n-2m\)的方案数
\(O(nD)\)，发现不关心具体哪种颜色，\(f[i][j]\)表示前\(i\)个有j个奇数色，直接转移。
\(n<=300\)可以矩阵快速幂，复杂度还是高了
考虑\(EGF\)
若无奇数限制，则\(e^x=n![x^n]\sum \frac{x^i}{i!}\)，就是序列有序但同组无序。
设满足奇数限制的\(EGF\)，\(F(x)=\sum \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\)
有\(e^{-x}=n![x^n]\sum \frac{(-1)^i x^i}{i!}\)
然后可以构造\(F(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
然后用至少容斥恰好
其中\(e^{xm}=\frac{m^n}{n!}\)，m种颜色n个小球，左侧就是m种颜色做EGF，右侧意义m种选择选n次，EGF中没有\(n!所以除掉\)

\[g(i)=\binom{D}{i}\frac{i!}{2^i}\sum\limits_{j=0}^i \frac{(-1)^j(D-2j)^n}{j!(i-j)!} \]

后面卷积，然后再二项式反演卷积一次即可。
\(O(nlogn)\)

T3

可以转化为二维数点。
发现一次切换只会对两侧的极长1区间有贡献，可以用\(set\)维护0的位置
贡献形式为断开时间-开始联通时间
设左侧极长区间端点为\(l\),同理\(r\)，改\(x\)。
二维平面上\((x,y)\)表示询问\(x->y\)的答案，
那么修改的影响是矩形\(x\in [l,x],y\in [x,r]\)，贡献为(断开+/联通-)当前时刻
区间修改+单点查询，\(\%\%\% DeepinC\) 二维线段树
可以差分，然后就转化为单点修改+前缀矩形查询，可以CDQ分治。
\(O(nlog^2n)\)