省选模拟63

A. 大佬的难题

题意：三维都是排列的三位偏序问题。n<=2e6
CDQ 两个log过不去
dy讲过的题。
考虑容斥，设A为满足\([a_i<a_j]\)条件的二元组个数，B C同理
要求\(A\cap B\cap C\)
根据\(A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C\)
而\(A\cup B\cup C=n(n-1)-(-A\cap B\cap C)=n(n-1)-A\cap B\cap C\)
然后计算二维偏序。

B. 回文串

发现变换中出现的串就是两个子串缩前缀到长度lcs过程中的子串（只考虑r方向）。
暴力hash+map随便搞，考虑不那么暴力的结构。
先不考虑add操作
建出回文树，每个点附上权值len*|right|，那么询问就是树上两条路径的并的权值
其实这我想麻烦了，只要判断len[lca]和lcs(lcp)的关系就行，因为lca及以上一定都是lcs中的串了。然后这个判断只要比较s[r-len[lca]]是否相同
现在多了add操作，对于增量建图的回文树来说在线不太现实。
把操作离线，在最后的串上跑Pam建树，这里有个优化是正串和反串的回文树形态相同（因为对称），所以正串建完得编号，然后直接在上面跑反串得编号。
需要保证当前未扩展到的点没有权值，这个只要让修改区间长<=\(nowlen\)，倍增跳。
树链剖分维护，复杂度两个log

C. 营养餐

树上阶梯nim博弈的变形。
阶梯nim博弈：n堆石子，合法操作为在i堆取>=1个石子放入i-1堆，若i=1则直接移出。先手必胜的充要条件为奇数编号的堆的石子个数异或和不为零。
证明：
把从奇堆中取石子视为nim博弈中的拿走，放入偶堆视为丢弃，局面为各奇堆中的石子数。
若对手操作奇堆，那我跟着按照nim博弈的最优策略操作奇堆，相当于两个人在进行普通的nim博弈。
若对手操作偶堆，假设在i向i-1移动石子数为x，那我在i-1把x个石子移动到i-2，局面不变，且在i=2时（最后一步）主动权在我手中。

关于为何不是偶堆异或和，考虑最后一步。

阶梯nim博弈在树上依然成立，数量不守恒也可以。要求奇数深度的堆异或和

回到本题，设\(num_i=a_i-\sum\limits_{j\in child_i}a_jb_j\)
根据题限\(num>=0\)
如果把\(num\)看作石子，在\(i\)取走\(x\)个，\(i\)少\(x\)，\(fa_i\)多\(b_ix\)
注意\(b_i=0\)时对父亲没有影响，要看作根。
于是对每棵树单独求，由于是独立的公平游戏，森林再异或起来判断。