LIS LCS LCIS

最长上升子序列LIS

$\Theta(n^2)$

$f_i=max(f_j+1),j<i,a_j<a_i$

$\Theta(nlogn)$

限制条件二维偏序，bit优化

 

求方案数：

1.$\Theta(nlogn)$

树状数组维护二元组$(f_i,g_i)$分别表示长度、方案数，按照最显然的更新方法更新就行。

树状数组一直不太懂，不敢乱搞。实际上树状数组上的一个位置i维护的是$[i-lowbit(i)+1,i]$的区间最大f和对应的$\sum\limits_{k=i-lowbit(i)+1}^i g_k$，不断减去lowbit(i)可以保证收集到完整的前缀不重不漏。

2.$\Theta(n)$

对每个f值开$vector$，按照$[1,n]$顺序加入，则每个$vector$中的$a[i]$一定是单调不增的。（反之后者f值会+1）

升序扫描每个$vector$，设当前处理到$vec[i]$，在$vec[i-1]$中建立双指针$p1$,$p2$，对每个$vec[i][j]$，分别使其满足$j<i$和$a[j]<a[i]$的限制，由于两者都具有单调性，双指针也就是单调的。

对于每个$vec[i][j]$，$[p2,p1]$都是它的转移点，$g[vec[i][j]]=\sum\limits_{k=p2}^{p1} g[vec[i-1][k]]$，只要维护个前缀和就好了。

然而由于f的求解需要$nlogn$，所以用哪个都无所谓了。

 

 

最长公共子序列LCS

$\Theta(n^2)$

$f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i,j-1},[a_i==b_j]f_{i-1,j-1}+1)$

$\Theta(nlogn)$

可以转化为LIS：

无重复值：把b中的值替换为a中该值出现的位置，在b上做LIS的算法二

有重复值：把b中该值替换为a中该值出现的位置集合（降序保证每个集合只选一个），同上LIS，注意替换后序列可能很长，上限n^2。可能卡爆空间

 

 

 

最长公共上升子序列LCIS

$\Theta(nm^2)$

设$f_{i,j}$为考虑了A串的前i位，LIS的结尾在j的LCIS。注意：i为阶段

$f_{i,j}=f_{i-1,j},a_i\neq b_j \\
f_{i,j}=max(f_{i,k}+1),a_i=b_j,b_k<b_j$

$\Theta(nm)$

j在从1扫到m时，维护$<a_i$的最优决策点。详见LYD。

 

 

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昨天晚上yy了一道题。

求LCIS，保证A B中各自互不相同，数据范围1e5。