卡特兰数

前几项: 1 1 2 5 14 42 132 429  很重要

 

抽象模型： 对于问题可以抽象成+1 -1 串，且串前缀和>=0

常见问题模型：

1.入栈次序为1.2.3.4~n的栈。把操作转化一下：入栈视为+1 出栈视为-1，可知在任意时间数字串的前缀和>=0。

2.有对角线限制的。这种题上来先手模下，看是不是卡特兰数。

比较好的blog

 

常用公式：

1. $h(n) = \sum\limits_{k=1}^Nh(k-1) \times h(n-k)$ 　　 $h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)$  以上均需满足$n \ge 2$ 规定$h(0)=1  h(1)=1$
2. $h(n) = C_{2n}^n - C_{2n}^{n-1}$
3. $h(n) = \frac {C_{2n}^n} {n+1}$　　由2式化简得
4. $h(n) = \frac{h(n-1) \times (4 \times i-2)} {n+1}$　　这个基本用不到。

求法：链接另外一篇blog

A. 网格

wq学长

这题的公式和卡特兰数没什么关系。但从求不合法方案的思想上用到了一点。

暂时没图

对于不合法的部分，一定会到达y=x+1这条线，我们关于这条直线对矩形翻折，原点到对称后的终点是所求。

B. 有趣的数列

这题我打表找的规律

不过以上是一种常用做法，next_permutation或dfs都可以。

C. 树屋阶梯

这题也是卡特兰数的常见构造。

然而我还是打表