基础DP

闲着没事来水一些入门知识吧

所谓基础DP，就是不需要太多套路和优化方式的DP。只要理解DP的思想，这些题目都可以做出来。亦可以通过这些题目体会DP的思想，可以锻炼思维。

P1077 摆花

\(f_{i,j}\) 表示决策完第 \(i\) 种，摆完 \(j\) 盆的方案数

\(f_{i,j}=\sum f_{i-1,j-k},\ k\in[0,\min(a_i,j)]\)

状态 \(O(n^2)\) 转移 \(O(n)\) \(\Longrightarrow\) 时间复杂度为 \(O(n^3)\)

优化提示：可以使用滚动数组优化空间，前缀和优化时间至 \(O(n^2)\)

P3842 线段

\(f_{i,0}\) 表示走完第 \(i\) 行线段并在左端点结束花费最小步数

\(f_{i,1}\) 表示走完第 \(i\) 行线段并在右端点结束花费最小步数

向下走一步的花费为 \(1\)，于是有

\(f_{i,0}=\min(f_{i-1,0}+|R_i-L_{i-1}|,f_{i-1,1}+|R_i-R_{i-1}|)+R_i-L_i+1\)

\(f_{i,1}=\min(f_{i-1,0}+|L_i-L_{i-1}|,f_{i-1,1}+|L_i-R_{i-1}|)+R_i-L_i+1\)

状态复杂度 \(O(n)\) \(O(1)\) 转移 \(\Longrightarrow\) 时间复杂度 \(O(n)\)

P1095 守望者的逃离

这题我其实不愿称之为DP ，包含了一些贪心性质

闪现的平均速度 \(v_1=\frac{\frac{4\times 5}{10}\times 60}{5+2}=\frac{120}{7}\)

走路的平均速度\(v_2=17<\frac{120}{7}\)

故而总是等待蓝回够再闪现是最优的，于是有这样一种策略：

先把所有技能交了，然后一直等蓝回够再闪，直到剩下的时间不足以回满一个蓝，选择走路

记录一个动态的 \(m\) 表示当前的蓝剩余量，\(f_{i}\) 表示按照上述策略闪现到第 \(i\) 秒的距离

\[f_i=\begin{cases} f_{i-1}+60,\ m=m-10 &m\geq10\\ f_{i-1},\ m=m+4 &m<10 \end{cases} \]

问题就是从哪里开始走，

在两次闪现之间，\(f_{i-1}+17\) 一定比 \(f_i\) 更优，因为此时闪现方案会停下等蓝

但到了闪现时间点这个差距就会被追回来，所以我们可以第二次扫描当 \(f_{i-1}+17>f_i\) 直接决策，不会影响后续答案。

P4059 找爸爸

很容易发现，两段序列不可能在同一位置增加空格，因为同时删掉两个空格后显然会更优。

所以，任何一个位置一定有至少一个碱基。

\(f_{i,j,k}\) 表示已经配对串一中的 \(i\) 个碱基，串二中的 \(j\) 个碱基。\(k\) 表示状态，

\(0\) 表示两个串末尾都不是空格， \(1\) 表示串一末尾有空格，\(2\) 则表示串二。

\[f_{i,j,0}=\max\{ f_{i-1,j-1}\}+d(a_i,b_j)\\ f_{i,j,1}=\max\{f_{i,j-1,1}-B,\ f_{i,j-1,0}-A,\ f_{i,j-1,2}-A\}\\ f_{i,j,2}=\max\{f_{i-1,j,1}-A,\ f_{i-1,j,0}-A,\ f_{i-1,j,2}-B\}\\ \]

答案为 \(\max\{f_{n,m}\}\)

P7074 CSP-J2020 方格取数

对于到达一个格子只有三种方向可能。对于向右走的，我们不用记录作为状态。

\(f_{i,j,k}\) 表示走到点 \((i,j)\)，状态为 \(k\) 的最大值。

其中 \(0\) 表示向下走，\(1\)表示向上走

\[f_{i,j,1}=\max\{f_{i,j-1,0},\ f_{i,j-1,1},\ f_{i+1,j,1}\}+a_{i,j}\\ f_{i,j,0}=\max\{f_{i,j-1,0},\ f_{i,j-1,1},\ f_{i-1,j,0}\}+a_{i,j} \]