欧拉函数

目录

• 欧拉函数
  • 欧拉函数的定义
  • 欧拉函数的一些性质
  • 如何求欧拉函数值

欧拉函数

欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler's totient function），求小于或者等于\(n\)的数中与\(n\)互质的数的个数，记为：\(\varphi(n)\)。

欧拉函数的通式\(\varphi \left( n\right) =n\left( 1-\dfrac {1} {p_{1}}\right) \left( 1-\dfrac {1} {p_{2}}\right) \ldots \left( 1-\dfrac {1} {p_{n}}\right)\)，其中\(p_1,p_2,\dots,P_n\)都是\(n\)的质因数。

比如：\(\varphi(1)=1\)。

当\(n\)时质数的时候，显然有\(\varphi(n)=n-1\)。

欧拉函数的一些性质

1. 欧拉定理：若\(a,n\)为正整数，\(gcd(a,n)=1\)，则\(a^{\varphi(n)} \Xi \:1(mod\:n)\)。

2. 若\(n\)是质数，则\(\varphi(n)=n-1\)。

   若\(n\)是合数，则\(\varphi(n)\)自己算去吧!!!

3. 欧拉函数是积性函数：

   若\(n,m\)互质，则\(\varphi(n\times m)=\varphi(n)\times \varphi(m)\)。

   当\(n\)为奇数时，有\(\varphi(2\times n)=\varphi(n)\)。

   若\(n=p^k\)且\(P\)是质数，则\(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}\)。

4. 除了\(n=2\)，\(\varphi(n)\)都是偶数。

如何求欧拉函数值

在这里，我们先求一个数的欧拉函数值，这样我们可以直接根据定义质因数分解的同时求解。时间复杂度为\(O(N)\)。

int oula(int n){
	int res = n;
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){//n的素因子定在sqrt(n)内 
		if(n % i == 0){
			res = res - res / i;//res = res - res / i是由n*(1-1/i)化来的，在这里不允许有小数，都是整数运算
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) res = res - res / n;
	return res;
}

那么对于多个数的欧拉函数值，我们是是否可以进行线性筛选呢？答案是可以的。

\(\varphi \left( n\right) =n\left( 1-\dfrac {1} {p_{1}}\right) \left( 1-\dfrac {1} {p_{2}}\right) \ldots \left( 1-\dfrac {1} {p_{n}}\right)\)，其中\(p_1,p_2,\dots,P_n\)都是\(n\)的质因数。
例如：\(\varphi(12)=12\times(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})=4\).
利用这个我们可以类似求素数的的筛法。先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求8以内所有数的φ值：设一个数组\(phi[9]\),初始值为\(phi[1]=1,phi[2]=2,\dots,phi[8]=8\)，然后从\(2\)开始循环，把\(2\)的倍数的\(\varphi\)值都乘以\((1-\frac{1}{2})\)；再是把\(3\)的倍数的\(\varphi\)值都乘以\((1-\frac{1}{3})\dots\)。（这里有点运用了素数的埃氏筛选的思想）。对于每一个素数都进行如此操作，就相当于任何一个\(n\)都进行了\(\varphi \left( n\right) =n\left( 1-\dfrac {1} {p_{1}}\right) \left( 1-\dfrac {1} {p_{2}}\right) \ldots \left( 1-\dfrac {1} {p_{n}}\right)\)的运算。

const int MAXN = 2e5 + 10;
int oula[MAXN];
void Inou(){
	for(int i = 1;  i <= MAXN; i++){
		oula[i] = i;
	}
	for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
		if(oula[i] == i){//素数在之前是不会被任何数筛的
			for(int j = i; j <= MAXN; j += i){
				oula[j] = oula[j] - oula[j] / i;
			}
		}
	}
}

如果以上内容有错误的地方，请在下面评论指出，谢谢了！！！