博弈论

参考资料：《算法竞赛进阶指南》

SG函数：Steins;Gate函数。为0先手必败。反之先手必胜。

mex运算：mex(S) = min

有向图游戏：定义mex运算：

SG(S) = mex(SG(son(S)))

说人话就是所有后继状态的SG值的mex。

公平组合游戏：多个独立游戏，每次选择一个游戏走一步。最后无路可走的人输。SG值为各个子游戏的异或和。

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参考资料：yyb。

Bash Game：

n个石子，每个人只能取[1, m]个，不能取者输。此时SG(S) = n % (m + 1)

Wythoff Game：

两堆石子a，b，每个人可以在其中一堆或两堆取相同的任意个。不能取者输。

令t = (1 + 50.5) / 2，若abs(a - b) * t == min(a, b)则先手败，否则先手胜。

Nim Game：

n个石子，每个人可以取任意个，不能取者输。此时SG(S) = n

Moore's Nimk:(参考资料)

n堆石子，每次从[1, k]个堆中分别取走若干个。不能取者输。

yyb：

还有一种说法：

阶梯博弈：(参考资料)

k个阶梯(地面为0号)，每次选择一个阶梯，移动若干个石子到下一阶梯，不能移动者输。此时等价于只有奇数号阶梯上石子的普通Nim。

以下内容参考贾志豪论文。

Anti-SG(反Steins;Gate是不是SERN啊)：

感觉慢慢证还是比较好理解，但是据说市面上只有一道题...弃疗了。

Muti-SG：

一次可以把一个子游戏拆分成若干个子游戏(???)直接暴力SG。

Every-SG：

每次要把所有未完的子游戏全部走一步。最后无路可走的人输。

定义step(S)代表S局面你所期望的结束步数。你要让能赢的尽量玩的久，输的尽早结束。

必胜当且仅当max(step)为奇数。

翻硬币游戏：(参考资料)

对于每个单独的正面朝上的局面SG值，直接手玩找规律。

不平等博弈：去死吧。

某博客。某论文。